Chuyên đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Trần Mạnh Tường

CHUYÊN ĐỀ:

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Tác giả: Trần Mạnh Tường

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới

hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó.

   , d M P MH  (với H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ).

2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách

từ một điểm bất kì trên đường thẳng này tới mặt phẳng kia.

Nếu / /( ) P  thì      , ;( ) d P d M P   với M  

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì

trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

Nếu / /( ) P Q thì        , ;( ) ;( ) d P Q d M Q d N P   với

  , N M P Q    

4. Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

a. Dùng định nghĩa

b. Phương pháp đổi điểm (dùng tỉ số khoảng cách)

* Kiến thức cần nhớ:

- Nếu đường thẳng AB song song với mặt phẳng  P thì       ; ; d A P d B P 

- Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng  P tại I thì      

;

;

d A P AI BI d B P 

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này, ta nên cố gắng đưa việc tính

khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ chân

đường cao của hình chóp hoặc lăng trụ đến mặt phẳng

P

M

H

P

K H

M

N

Q

P

N

M

K

H

P

H K

A B

P

B

I H

A

K

c. Phương pháp thể tích

*    3 ; V d M P S  với V là thể tích của khối chóp có đỉnh là M , S là diện

tích của đáy nằm trên mặt phẳng  P của khối chóp đó

*    ; V d M P S  với V là thể tích của khối lăng trụ có đỉnh là M , S là

diện tích của đáy nằm trên mặt phẳng  P của khối lăng trụ đó

d. Một công thức thường dùng trong bài toán tính khoảng cách

Nếu   SI IAB  thì         2 2 . ; ;

;

SI d I AB d I SAB

SI d I AB 



II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. Ví dụ minh họa

Câu 1. (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C  có 2 3 AB  và 2 AA . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C  và BC . Khoảng cách từ A đến   MNP bằng

A. 17

65 . B. 6 13

65 . C. 13

65 . D. 12

5 .

Lời giải

Chọn D

- Gọi D là trung điểm của B C  MN A D

MN DP

     

  MN A DPA   

    MNP A DPA   

- Gọi E MN A D    EP  là giao tuyến của   MNP và   A DPA  .

- Dựng   AH EP AH MNP        ; AH d A MNP   .

- Gọi F là trung điểm của AP EF AP   và 2 EF A A    , 3 2 2 AP FP  

2 2 5 2 EP EF FP     . EF AP AH EP   2.3 12 5 5 2

  .

Vậy     12 ; 5 d A MNP  .

B C

M

A

D

H

A D

B

C

M

H

P

S

I

A

B

K

H

F

E

D

P

N

M

B

C

A' C'

B'

A

H

Câu 2. (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Sử dụng phương pháp đổi điểm) Cho hình chóp

. S ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh 2 2 . AB AD a   Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBD

A. 3 4 a . B.

3 2 a . C. 2

a . D. a .

Lời giải

Chọn B

Phân tích: Gọi I là trung điểm AB , ta sẽ có I là chân đường cao của hình chóp nên ta có ý tưởng đổi việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBD thành khoảng cách từ điểm

I đến mặt phẳng   SBD .

* Kẻ .  SI AB

Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD .

I  là trung điểm của AB và   SI ABCD  .

SAB  đều cạnh 2a 2 3 3. 2 a SI a   

* Kẻ   IK BD K BD   ,   AH BD H BD  

1 2 IK AH  

Kẻ   , (1). IJ SK J SK  

Ta có  

IK BD

SI ABCD SI BD

     

  (2). BD SIK BD IJ    

* Từ (1) và (2) suy ra   IJ SBD    ,( ) . d I SBD IJ  

Ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AB AD   2 2 1 5 4 AH a   2

5 a AH   . 5 a IK  

2 2 2 1 1 1 IJ SI IK   2 2 1 16 3 IJ a   3 4 a IJ     3 ,( ) . 4 a d I SBD  

I là trung điểm AB   ,( ) d A SBD    3 …