Chuyên đề khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Trần Mạnh Tường

CHUYÊN ĐỀ:

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Tác giả: Trần Mạnh Tường

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020

B. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa

Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng đó

,

,

a b

a A b B

       

  , d a b AB  

2. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Có 3 phương pháp

thường dùng

a. Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

- Xác định đoạn vuông góc chung AB của hai đường thẳng chéo nhau

- Tính độ dài đoạn AB.

b. Phương pháp 2:

- Chọn hoặc dựng 1 mặt phẳng (P) chứa 1 đường và song song với

đường thẳng còn lại (chẳng hạn chứa b và song song với a)

- Khi đó         , ; ; d a b d a P d M P   với M là điểm tùy ý trên

đường thẳng a

c. Phương pháp 3:

- Chọn hoặc dựng 2 mặt phẳng lần lượt chứa 1 đường thẳng và song

song với đường thẳng còn lại.

- Khi đó            , ; ; ; d a b d P Q d H P d K Q    với

  , H Q K P  

d. Sử dụng phương pháp vectơ (ít dùng)

b

a

B

A

b

a'

a

P

H

M

b

a'

a

Q

P

b'

H

K

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

1. VÍ DỤ MINH HỌA:

Câu 1: (nhiều cách giải) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ' AD và BD.

Lời giải

Cách 1. Dựng đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung.

Do  

// BD B D

AD AB D

     

nên   AB D   là mặt phẳng chứa

AD và song song với BD.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD .

Ta dựng hình chiếu của điểm O trên   AB D  .

Do B D A C

B D CC

       

  B D CC A     B D A C     1

Tương tự (2) AC AD    .

Từ (1),(2) suy ra   A C AE D     . Gọi   G AC AB D      .

Do AB D    đều và A A A E A D        nên G là trọng tâm của tam giác AB D  .

Vậy Gọi I là tâm của hình vuông A B C D     thì AI là trung tuyến của tam giác AB D   nên

, . A G I thẳng hàng.

Trong   ACCA dựng // OH CA cắt AI tại H thì H là hình chiếu của O BD  trên   AB D  .

Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD tại M , từ M dựng đường thẳng song

song với OH cắt BD tại N thì MN là đoạn vuông góc chung của AD và BD do đó

  , d AD BD MN   .

Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN OH  . Do OH là đường trung bình trong tam

giác 1 2 ACG OH CG   .

Mặt khác 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 GC AC a CG GA CG CA a GA A I

            .

1 2 3 3 2 3 3 a a OH     . Vậy   3 , 3 a d AD BD MN OH     .

N

M

H

G

I

O

B'

B A

C'

D C

D'

A'

Cách 2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung mà không cần dựng vị trí cụ thể của đoạn vuông góc chung.

Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD và

BD với , M AD N BD    . Từ M kẻ MP AD  , từ

N kẻ NQ AD  .

Dễ thấy ( ) BD MNP BD NP    ;

( ) AD MNQ AD MQ      .

Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên

3 a QD QN QP MP PA      .

Lại có 2 2 2 2 3 2 DP a a PN    .

Từ đó

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 a a a a MN PM PN MN                     

.

Cách 3. ( dùng phương pháp 3)

Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường đó.

Dễ thấy

 

 

   //

AD AB D

BD BDC

AB D BDC

  



  

              , , d AD BD d AB D BDC       .

Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của AC  với các mặt

phẳng    s AB D BDC   .

Theo chứng minh trong cách 1 thì ,I J lần lượt là trọng tâm của các tam giác AB D   và   BDC

. Mạt khác dễ dạng chứng minh được     , AC AB D AC BDC        .

suy ra       

1 3 , , 3 3 a d AD BD d AB D BDC IJ AC          .

Q

P

B'

B A

C'

A'

D'

C D

M

N

J

I

B'

B A

C'

A'

D'

C D