Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện - Nguyễn Ngọc Dũng

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956

Phương pháp tỉsốthểtích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268

PHƯƠNG PHÁP TỈSỐTHỂTÍCH

Nguyễn Ngọc Dũng - Học viên cao học ĐHSP HCM

Ngày 29 tháng 9 năm 2018

I. Tóm tắt lý thuyết

1. Kỹthuật chuyển đỉnh (đáy không đổi)

A. Song song đáy

Vcũ = Vmới

cũ mới

đáy P

B. Cắt đáy

Vcũ Vmới = Giao cũ

Giao mới = IA

IB

I

A

B cũ

mới

đáy P

2. Kỹthuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

Vcũ Vmới = Sđáy cũ

Sđáy mới △ ! a) Đểkỹthuật chuyển đáy được thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, khi đó ta sẽdễdàng so sánh tỉsốhơn.

b) Cảhai kỹthuật đều nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu vềđa diện khác dễtính thểtích hơn.

3. Tỉsốdiện tích của hai tam giác

S△OMN

S△APQ = OM

OP · ON

OQ

O

x

y

M

N

P

Q

⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆ Page 1 of 23

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956

h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉsốthểtích

4. Tỉsốthểtích của khối chóp

A. Công thức tỉsốthểtích của hình chóp tam giác

VS.MNP

VS.ABC = SM

SA · SN

SB · SP

SC

A

B

C

S

M

N

P

△ ! Công thức trên chỉáp dụng cho hình chóp tam giác, do đó trong nhiều trường hợp ta cần linh hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

B. Một trường hợp đặc biệt

Nếu (A1B1C1D1) ∥(ABCD) và SA1

SA = SB1

SB = SC1

SC = SD1

SD = k thì

VS.A1B1C1D1

VS.ABCD = k3

Kết quảvẫn đúng trong trường hợp đáy là n −giác.

S

A

D

C

B

A1

D1 C1

B1

5. Tỉsốthểtích của khối lăng trụ

A. Lăng trụtam giác

Gọi V là thểtích khối lăng trụ, V(4) là thểtích khối chóp tạo thành từ4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V(5) là thểtích khối chóp tạo thành từ5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:

• V(4) = V 3

• V(5) = 2V 3

A B

C

A′ B′

C′

Ví dụ. VA′B′BC = V

3 ; VA′B′ABC = 2V

3 . △ ! Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứdiện.

Page 2 of 23 ⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956

Phương pháp tỉsốthểtích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268

B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụtam giác

Gọi V1, V2 và V lần lượt là thểtích phần trên, phần dưới

và lăng trụ. GiảsửAM

AA′ = m, CN

CC′ = n, BP

BP ′ = p. Khi đó:

V2 = m + n + p

3 · V

△ ! Khi M ≡A′, N ≡C thì AM

AA′ = 1, CN

CC′ = 0.

M

N

P

A B

C

A′ B′

C′

m

n

p V2

V1

6. Khối hộp

A. Tỉsốthểtích của khối hộp Gọi V là thểtích khối hộp, V(4) là thểtích khối chóp tạo thành từ4 trong 8 đỉnh của khối hộp. Khi đó:

• V(4) 2 đường chéo của

2 mặt song song = V

3

• V(4)(trường hợp còn lại) = V 6 △ ! Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứdiện. D

A

B

A′

C

D′

C′

B′

Ví dụ. VA′C′BD = V

3 ; VA′C′D′D = V

6 .

B. Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉquan tâm tới hai cạnh đối nhau)

DM DD′ = x

BP BB′ = y

  

  ⇒V2 = x + y

2 · V

D

A

B

A′

C

D′

C′

B′

M

N

P

Q

x

y

V2

II. Một sốdạng toán

Dạng 1: Tỉsốthểtích của khối chóp tam giác

1. Công thức tỉsốthểtích của khối chóp tam giác:

⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆ Page 3 of 23

Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956

h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉsốthểtích

VS.MNP

VS.ABC = SM

SA · SN

SB · SP

SC

A

B

C

S

M

N

P

2. Sửdụng kỹthuật chuyển đỉnh, kỹthuật chuyển đáy (trình bày phần lý thuyết) đểđưa khối chóp đã cho vềkhối chóp khác đơn giản hơn.

3. Chú ý các tỉsốđặc biệt trên hình, sửdụng các định lý của hình sơ cấp đểtính tỉsố (Ta-lét, tam giác đồng dạng, phương tích,...)

4. Tỉsốdiện tích của hai tam giác:

S△OMN

S△APQ = OM

OP · ON

OQ

O

x

y

M

N

P

Q

1. Một sốví dụ

Ví dụ1 (THPTQG 2017)

Cho tứdiện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứdiện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thểtích V . Tính V .

A. V = 7 √

2a3

216 . B. V = 11 √

2a3

216 . C. V = 13 √

2a3

216 . D. V =

√

2a3

18 .

Lời giải.

Page 4 of 23 ⋆Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ⋆