Bài giảng phương trình đường thẳng trong không gian - Lê Hồng Đức

lê hồng đức và nhóm cự môn

hình học 12 Phương trình đường thẳng

Bài giảng được trình bày cho các em học sinh bằng việc sử dụng giáo án điện tử

Người thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại: 0936546689 Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Tây Hồ − Hà Nội

1

§3 Phương trình đường thẳng

A. bài giảng

1. phương trình tham số của đường thẳng

Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vtcp

a 

(a1; a2; a3) có phương trình:

(d):

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

= +  = +  = + 

, t ∈ . (1)

Vậy, ta được:

(d):

0 0 0 0

1 2 3

Qua M (x ;y ;z )

vtcpa(a ;a ;a )

   ⇔ (d):

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

= +  = +  = + 

, t ∈ .

Phương trình (1) với điều kiện 2 1a + 2 2a + 2 3a > 0 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.

Hoạt động Chứng minh kết quả trên.

Thí dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d), biết:

a. (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vtcp a 

(2; −1; 0). b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; −3) và B(3; −1; 5).  Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) được cho bởi:

(d):

QuaA(1;2;3)

vtcp a(2; 1; 0)

 −   ⇔ (d):

x 1 2t

y 2 t

z 3

= +  = −  = 

, t ∈ .

Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) ∈ (d) khi:

AM // a  

⇔ AM ta =  

⇔

x 1 2t y 2 t z 3 0

−=  − = −  − = 

⇔

x 1 2t

y 2 t

z 3

= +  = −  = 

, t ∈ .

Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d) cần tìm.  Chú ý: Lời giải trong cách 2 chính là ý tưởng để chứng minh định lÝ trên.

2

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) được cho bởi:

(d): QuaA(2;1; 3) QuaB(3; 1; 5) −   − 

⇔ (d):

QuaA(2;1; 3)

vtcp AB(1; 2; 8)

−  −   ⇔ (d):

x 2 t y 1 2t z 3 8t

= +  = −  = −+ 

, t ∈ .

Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) ∈ (d) khi:

AM // AB  

⇔ AM tAB =  

⇔

x 2 t y 1 2t z 3 8t

− =  −= −  + = 

⇔

x 2 t y 1 2t z 3 8t

= +  = −  = −+ 

, t ∈ .

Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d) cần tìm.

Hoạt động Viết phương trình đường thẳng (d), biết:

a. (d) đi qua điểm A(3; −2; −1) và có vtcp a 

(−3; −1; 2). b. (d) đi qua hai điểm A(−3; 2; 6) và B(5; 4; −2).

2. phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho bởi (1) suy ra:

0

1

x x a − = 0

2

y y a − = 0

3

z z a − . (2)

Phương trình (2) với điều kiện a1a2a3 ≠ 0 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Vậy, ta được:

(d):

0 0 0 0

1 2 3

Qua M (x ;y ;z )

vtcpa(a ;a ;a )

   ⇔ (d): 0

1

x x a − = 0

2

y y a − = 0

3

z z a − .

Từ đó, đường thẳng (d) đi qua hai điểm M1(x1; y1; z1) và M2(x2; y2; z2), ta có:

(d):

1 1 1 1

2 2 2 2

Qua M (x ;y ;z )

Qua M (x ;y ;z )   

⇔ (d):

1 1 1 1

1 2 2 1 2 1 2 1

Qua M (x ;y ;z )

vtcp M M (x x ;y y ;z z )

 − − −  

⇔ (d):

1 2 1

1 2 1

1 2 1

x x (x x )t

y y (y y )t

z z (z z )t

= + −  = + −  = + − 

, t ∈  hoặc (d): 1

2 1

x x x x − − = 1

2 1

y y y y − − = 1

2 1

z z z z − − .

Thí dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

(P): 2x + 2y + z − 4 = 0, (Q): 2x − y − z + 5 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b. Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (d).