Tài liệu chuyên đề phương trình đường thẳng trong không gian

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 117

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng .

2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua và có 1 vectơ chỉ phương

+ Phương trình tham số của đường thẳng d là: (1)

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

(2)

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng và

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương .

0 a ≠   d a d

( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = 

0 1

0 2

0 3

( )

x x a t

y y a t t R

z z a t

= +  = + ∈  = + 

0 0 0

1 2 3 : x x y y z z d a a a − − − = = ( ) 1 2 3 0 . . a a a ≠

0 1

1 0 2

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

= +  = +  = + 

/ 0 1 / 2 0 2 / 0 3

:

x x b k

d y y b k

z z b k

= +  = +  = + 

1d ( ) = 

1 2 3 ; ; a a a a

2d ( ) = 

1 2 3 ; ; b b b b

CHƯƠNG

III

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 118

1. Xét vị trí tương đối của 1d và 2d theo chương trình cơ bản:

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của và . Bước 2: Nhận xét:

+ Nếu và cùng phương thì:

+ Nếu và không cùng phương thì hoặc cắt hoặc và chéo nhau.

• TH1: cắt

Điều kiện 1:

 a và

 b không cùng phương .

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: (*) có nghiệm duy nhất

.

Kết luận: cắt tại điểm .

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì

, ngược lại thì không).

• TH2: và chéo nhau

Điều kiện 1: và không cùng phương .

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: (*) vô nghiệm.

• TH3: song song với

Điều kiện 1: và cùng phương .

Điều kiện 2: Chọn điểm . Cần chỉ rõ .

• TH4: và trùng nhau

Điều kiện 1: và trùng nhau.

Điều kiện 2: Chọn điểm . Cần chỉ rõ .

Đặc biệt:

a b 

a b  1 2

1 2

/ / d d

d d

  ≡  a b 

1d 2d 1d 2d

1 d 2 d

′  + = +  ′ + = +   ′ + = + 

(1)

(2)

(3)

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x a t x b k

y a t y b k

z a t z b k

0 0 ( , ) t k

1d 2d ( ) 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 ; ; M x a t y a t z a t + + +

( ) 0 0 ; t k

( ) 0 0 ; t k

1 d 2 d

a b 

′  + = +  ′ + = +   ′ + = + 

(1)

(2)

(3)

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x a t x b k

y a t y b k

z a t z b k

1 d 2 d

a b 

0 0 0 0 1 ( ; ; ) M x y z d ∈ 0 2 M d ∉

1 d 2 d

a b 

( ) 0 0 0 0 1 ; ; M x y z d ∈ 0 2 M d ∈

1 2 1 1 2 2 3 3 . 0 0 d d a b a b a b a b ⊥ ⇔ = ⇔ + + =  

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 119

2. Xét vị trí tương đối của 1d và 2d theo chương trình nâng cao bằng sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương

- III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng:

0 1

0 2

0 3

: x x a t d y y a t z z a t

= +  = +  = + 

và mp ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + =

Xé hệ phương trình:

0 1

0 2

0 3

(1) (2) (*) (3) 0 (4)

x x a t y y a t z z a t Ax By Cz D

= +  = + = +   + + + = 

o (*) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt ( ) α

o (*) có vô nghiệm ⇔ d // ( ) α

o (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ ( ) α

0 và . d u M d ∈ 

0 và / / . d u M d ∈ 

Tính ′    

 ; d d u u

′  =    ; 0 d d u u

′   =     ′ =     

 

  

0 0

; 0

; 0

d d

d

u u

u M M

Trùng nhau

′  ≠    ; 0 d d u u

′   =     ′ ≠     

 

  

0 0

; 0

; 0

d d

d

u u

u M M

′   ≠     ′ =     

 

  

0 0

; 0

; 0

d d

d

u u

u M M

′   ≠     ′ ≠     

 

  

0 0

; 0

; 0

d d

d

u u

u M M

Song song Cắt nhau Chéo nhau