Tài liệu chuyên đề phương trình mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 51

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

• Vectơ 0 n ≠  

là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n 

vuông góc với mặt phẳng ( ) α

• Chú ý:

 Nếu n 

là một VTPT của mặt phẳng ( ) α thì kn 

( 0) k ≠ cũng là một VTPT của mặt

phẳng( ) α .

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

 Nếu , u v 

có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) α thì , n u v =   [ ] là một VTPT của

( ) α .

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

 Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + ≠

 Nếu mặt phẳng ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D + + + = thì nó có một VTPT là

( ; ; ) n A B C 

.

 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và nhận vectơ ( ; ; ) n A B C 

khác 0 

là

VTPT là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = .

• Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) α : 0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + ≠

 Nếu 0 D = thì mặt phẳng ( ) α đi qua gốc tọa độ O .

 Nếu 0, 0, 0 A B C = ≠ ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Ox .

 Nếu 0, 0, 0 A B C ≠ = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Oy .

 Nếu 0, 0, 0 A B C ≠ ≠ = thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Oz .

CHƯƠNG

III

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 52

 Nếu 0, 0 A B C = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oxy .

 Nếu 0, 0 A C B = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oxz .

 Nếu 0, 0 B C A = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oyz .

Chú ý:

 Nếu trong phương trình ( ) α không chứa ẩn nào thì ( ) α song song hoặc chứa trục tương

ứng.

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : 1 y x z a b c α + + = . Ở đây ( ) α cắt các trục tọa

độ tại các điểm ( ) ;0;0 a , ( ) 0; ;0 b , ( ) 0;0;c với 0 abc ≠ .

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng 1 1 1 1 ( ) : 0 A x B y C z D α + + + = và 2 2 2 2 ( ) : 0 A x B y C z D β + + + =

 α β // ( ) ( )⇔ = = ≠ 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D

 α β ≡ ( ) ( ) ⇔ = = = 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D

 α ( ) cắt β ( )⇔ ≠ ∨ ≠ ∨ ≠ 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

A B B C A C A B B C A C

Đặc biệt: ( ) ( ) α β ⊥ ⇔ 1 1 2 2 3 3 0 A B A B A B + + =

IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0 (x ; ; ) M y z và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + =

Khi đó khoảng cách từ điểm 0 M đến mặt phẳng ( ) α được tính:

0 0 0 0 2 2 2 | | ( ,( )) Ax By Cz D d M A B C α + + + = + +

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 53

V. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D α + + + = và

( ) 2 2 2 2 : 0. A x B y C z D β + + + =

Góc giữa ( ) α và ( ) β bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n α β 

. Tức là:

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

. cos , cos , . .

n n A A B B C C n n n n A B C A B C

α β

α β

α β α β + + = = = + + + +

   

Đặc biệt: ⊥ ⇔ + + = ( ) ( ) ' ' ' 0. P Q AA BB CC

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp:

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Câu 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm (1;0; 2) A − và có vectơ

pháp tuyến (1; 1;2) n − 

.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm ( ) 0;1;2 A

và có vectơ pháp tuyến ( ) 2;1;0 . n = − 

Câu 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 1;1;1 A − và có vectơ pháp tuyến

( ) 1; 2;2 n = −− 

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm ( ) 0;1;2 A , ( ) 2; 2;1 B − …