Tài liệu chuyên đề hệ tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 1

BÀI 1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

1. Hệ trục tọa độ Oxyz:

 Hệ trục gồm ba trục , , Ox Oy Oz đôi một vuông góc nhau.

 Trục : Ox trục hoành, có vectơ đơn vị (1;0;0) i  = .

 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị (0;1;0) j  = .

 Trục : Oz trục cao, có vectơ đơn vị (0;0;1). k  =  Điểm (0;0;0) O là gốc tọa độ.

2. Tọa độ vectơ: Vectơ ( ; ; ) u xi y j zk u x y z      = + + ⇔ = .

Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ) a a a a b b b b   = = . Ta có:

 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b  ± = ± ± ±

 a 

cùng phương b 

( ) a kb k R   ⇔ = ∈

1 1

3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

, ( , , 0).

a kb a a a a kb b b b b b b a kb

=   ⇔ = ⇔ = = ≠   = 

 1 2 3 ( ; ; ) ka =



1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

  =   = ⇔ =   = 

 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b   = + +  2 2 2 1 2 2 a a a a = + + 

2 2 2 2 2 1 2 3 a a a a a  = = + +

 1 1 2 2 3 3 . 0 0 a b a b a b a b a b    ⊥ ⇔ = ⇔ + + =  1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. cos( , ) . .

a b a b a b a b a b a b a a a b b b

      + + = = + + + +

3. Tọa độ điểm: ( ; ; ) ( ; ; ) M x y z OM x y z  ⇔ = . Cho ( ; ; ) , ( ; ; ) , ( ; ; ) A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z , ta có:

 ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z  = − − −  2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + −

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

; ; . 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M + + +      

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

; ; . 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + +      

QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT

CHƯƠNG

III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 2

Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ  Điểm 1 ( ) ( ; ; ) ( ;0;0) Chieáu vaøo Ox M M M M Giöõ nguyeân x M x y z M x 

 Điểm 2 ( ) ( ; ; ) (0; ;0) Chieáu vaøo Oy M M M M Giöõ nguyeân y M x y z M y 

 Điểm 3 ( ) ( ; ; ) (0;0; ) Chieáu vaøo Oz M M M M Giöõ nguyeân z M x y z M z 

 Điểm 1 ( , ) ( ; ; ) ( ; ;0) Chieáu vaøo Oxy M M M M M Giöõ nguyeân x y M x y z M x y 

 Điểm 2 ( , ) ( ; ; ) (0; ; ) Chieáu vaøo Oyz M M M M M Giöõ nguyeân y z M x y z M y z 

 Điểm 3 ( , ) ( ; ; ) ( ;0; ) Chieáu vaøo Oxz M M M M M Giöõ nguyeânx z M x y z M x z 

Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ

 1 ( ; , ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Ox M M M M M M Giữ nguyên x đổi dấu y z M x y z M x y z   

 2 ( ; , ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Oy M M M M M M Giữ nguyên y đổi dấu x z M x y z M x y z   

 3 ( ; , ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Oz M M M M M M Giữ nguyên z đổi dấu x y M x y z M x y z   

 1 ( , ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Oxy M M M M M M Giữ nguyên x y đổi dấu z M x y z M x y z  

 2 ( , ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Oxz M M M M M M Giữ nguyên x z đổi dấu y M x y z M x y z  

 3 ( , ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) Đối xứng qua Oyz M M M M M M Giữ nguyên y z đổi dấu x M x y z M x y z  

4. Tích có hướng của hai vectơ:

 Định nghĩa: Cho 1 2 3 ( , , ) a a a a  = , 1 2 3 ( , , ) b b b b  = , tích có hướng của a 

và b 

là:

( ) 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

     = = − − −      

.

 Tính chất: [ , ] a b a   ⊥ [ , ] a b b   ⊥ ( ) [ , ] . .sin , a b a b a b      =

 Điều kiện cùng phương của hai vectơ & a b  

là , 0 a b    =   với 0 (0;0;0).  =

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ ,a b 

và c 

là

[ , ]. 0. a b c  =

 Diện tích hình bình hành ABCD: , . ABCD S AB AD     =  

 Diện tích tam giác ABC:

1 , . 2 ABC S AB AC 

∆   =  

 Thể tích khối hộp: . ' ' ' ' [ , ]. ' . ABCD A B C D V AB AD AA  =  Thể tích tứ diện: 1 , . 6 ABCD V AB AC AD     =   .

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử …