138 bài toán cực trị hình học giải tích không gian Oxyz vận dụng cao

Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T rang 1/ 85

Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn  0905193688

Câu 1: Cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z − +  = = − và hai điểm (0; 1;3), A − (1; 2;1). B − Tìm tọa độ điểm M

thuộc đường thẳng sao cho 2 2 2 MA MB + đạt giá trị nhỏ nhất.

A. (1;0; 2). M − B. (3;1; 3). M − C. ( 1; 1; 1). M −−− D. (5;2; 4). M −

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) 1 2 ; ; 2 M M t t t  + −− nên ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 5 6 16 27 MA t t t t t = −− + −− + + = + + ;

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 6 10 13 MB t t t t t = − + −− + + = + +

Suy ra 2 2 2 2 18 36 53 MA MB t t + = + + ( ) 2 18 2 1 35 t t = + + + ( )

2 18 1 35 35 t = + +  nên 2 2 2 MA MB + đạt

giá trị nhỏ nhất khi 1 t = −suy ra ( 1; 1; 1) M −−− .

Câu 2: Cho đường thẳng 1 2 : 1 1 2 x y z − +  = = − và ba điểm (1;3; 2), A − (0;4; 5), B − (1;2; 4). C − Biết điểm

( ; ; ) M a b c thuộc đường thẳng sao cho 2 2 2 2 MA MB MC + + đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng

a b c + + bằng bao nhiêu?

A. 0 . B. 1. C. 3. D. 4 .

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ;1 ; 2 2 M M t t t  + −− nên ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 6 6 5 MA t t t t t = − + − + = − + ;

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 6 18 18 MB t t t t t = − + − + −+ = − + .

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 6 12 6 MC t t t t t = − + − + −+ = − + 2 2 2 12 24 12 MC t t  = − +

Suy ra 2 2 2 2 2 24 48 35 MA MB MB t t + + = − + ( ) 2 24 2 1 11 t t = − + + ( )

2 24 1 11 11 t = − +  nên

2 2 2 2 MA MB MC + + đạt giá trị nhỏ nhất khi 1 t = suy ra (1;2; 4) M − nên 1 2 3 a ;b ;c = = = −. Khi đó

1 a b c + + = −

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 : 2 1 1 −  = = − − x y z và hai điểm

( ) 1; 1;6 −− A , ( ) 2; 1;0 − B . Biết điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức 2 2 3 + MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất là min T . Khi đó, min T bằng bao nhiêu?

A. min

1 2 = T . B. min 25 = T . C. min

25

2 = T . D. min 39 = T .

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng  đi qua điểm ( ) 0;0;1 o M và có véc tơ chỉ phương ( ) 2; 1; 1 = −− u nên có

Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T rang 2/ 85

Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn  0905193688

phương trình tham số: ( )

2

. 1

=   = −   = − 

x t y t t z t

Vì M thuộc đường thẳng  nên ( ) 2 ; ;1 − − M t t t .

Ta có 2 2 3 + MA MB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 3 2 2 1 1   = + + − + + + − + − + −   t t t t t t

2 2 45 24 24 45 6 4 4 6   = − + = − +     t t t t

( ) ( ) 2 2 39 6 2 1 6 2 1 39 39, . 6   = − + = − +       t t t

Vậy ( ) 2 2 min 3 39 + = MA MB 1 2 = t hay 1 1 1; ; 2 2 −       M .

Câu 4: Cho đường thẳng 1 2 : 1 1 1 x y z d − + = = − và ( ) ( ) ( ) 1; 1;0 , 0; 1;2 , 1;1;0 A B C − − − . Tìm tọa độ điểm

M thuộc đường thẳng d sao cho 2 MA MB MC + − đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 1 2 4 ; ; 3 3 3 M   −    

. B. ( ) 0;1; 1 M − .

C. 2 1 5 ; ; 3 3 3 M   − −    

. D. ( ) 2; 1; 4 M −− .

Lời giải

Chọn A

Gọi M có tọa độ là: ( ) 1 ; ; 2 M t t t − −+ .

Ta có: ( ) ( ) ( ) ; 1;2 ,2 2 2; 2 2;8 2 , 2;1 ;2 MA t t t MB t t t MC t t t = −− − = − − − − = − − − .

Do đó: ( ) 2 2 ; 2 4;8 2 MA MB MC t t t + − = − − − .

Suy ra: ( ) ( )

2 2 2 2 2 224 2 4 2 4 2 8 12 16 80 3 MA MB MC t t t t t + − = + + + − = − +  .

4 42 2 3 MA MB MC  + −  .

Dấu " " = xảy ra 2 3 t = hay 1 2 4 ; ; 3 3 3 M   −    

.

Câu 5: Cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z + −  = = − và hai điểm (1;0;1), A ( 1;1;2). B − Biết điểm ( ; ; ) M a b c

thuộc  sao cho 3 MA MB − đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng 2 4 a b c + + bằng bao nhiêu?

A. 0 . B. 1 −. C. 1. D. 2 .

Lời giải

Chọn D