Chủ đề hệ trục tọa độ Oxyz ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 1 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

➢ Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O , và trục Oz vuông

góc với mặt phẳng Oxy tại O . Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox , Oy , Oz lần lượt là ( ) 1;0;0 , i =

( ) 0;1;0 , j = ( ) 0;0;1 k = .

▪ Nếu 1 2 3 a a i a j a k = + + thì ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = .

▪ ( ; ; ) M M M M M M M x y z OM x i y j z k  = + +

▪ Cho ( ) ; ; A A A A x y z và ( ) ; ; B B B B x y z

▪ Ta có: ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − − và

2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − .

▪ M là trung điểm AB thì M ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z + + +      

.

➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = và 1 2 3 ( ; ; ) b b b b = ta có

▪

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

=   =  =   = 

1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b  =    1 2 3 . ( ; ; ) k a ka ka ka =

▪ 1 1 2 2 3 3 . . os(a; ) a b a b c b a b a b a b = = + + 2 2 2 1 2 3 a a a a = + +

▪ 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. . . os os(a, )

.

a b a b a b c c b

a a a b b b  + + = =

+ + + +

(với 0 , 0 a b   )

▪ a và b vuông góc 1 1 2 2 3 3 . 0 . . . 0 a b a b a b a b  =  + + =

▪ a và b cùng phương

1 1

2 2

3 3

:

a kb

k R a kb a kb

a kb

=    =  =   = 

➢ Tích có hướng của 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = và 1 2 3 ( ; ; ) b b b b = là 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 , ( ; ; ) a b a b a b a b a b a b a b  = − − −  

▪ a và b cùng phương  , 0 a b  =   a , b , c đồng phẳng  , . 0 a b c   =  

▪ Diện tích tam giác : 1 [ , ] 2 ABC S AB AC =

▪ Thể tích tứ diện ABCD V = 1 [ , ]. 6 AB AC AD

▪ Thể tích khối hộp: ' ' ' ' . ABCD A B C D V = [ , ]. ' AB AD AA

➢ Một số kiến thức khác

▪ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA kMB = ) thì ta có :

; ; 1 1 1

A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k − − − = = = − − − Với ( ) 1 k 

▪ G là trọng tâm của tam giác ABC

; ; 3 3 3

A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x y z + + + + + + = = =

▪ G là trọng tâm của tứ diện ABCD  0 GA GB GC GD + + + =

LÍ THUYẾT

Hình học tọa độ Oxyz

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

Lời giải Chọn B

Ta có: ( )

. cos , . u v u v u v =

( )

2 2 2 2 2 1 2

1 1 2 . 1

m

m

− =

+ + − +

2 1 2 2 2 6. 1

m

m

− = = +

2 1 2 3 1 m m − = −

2 2 4 4 1 3 3 m m m  − + = + (điều kiện 1 2 m  ).

2 4 2 0 m m  − − = 2 6

2 6

m

m

 = − 

= + 

. Đối chiếu điều kiện ta có 2 6 m = − .

Lời giải Chọn D Ta có:

2 3 2;2 3 2; 4 3 2 u a mb m m và 2 ; 2; 2 2 v ma b m m m .

Khi đó: . 0 4 2 3 2 2 4 3 2 2 2 0 u v m m m m m .

2 9 2 6 6 2 0 m m 26 2 6 m .

Lời giải Chọn C

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ ( ) 1;1; 2 u = − , ( ) 1;0; v m = . Tìm m để góc

giữa hai vectơ , u v bằng 45.

A 2 m = B 2 6 m = − C 2 6 m = + D

VÍ DỤ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ 2;1; 2 a , 0; 2; 2 b . Tất cả giá trị của

m để hai véc tơ 2 3 u a mb và v ma b vuông góc với nhau là

A. 26 2 6

. B. 26 2 6

. C. 11 2 26 18

. D. 26 2 6

VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm ( ) 0; 1;2 A − , ( ) 2; 3;0 B − , ( ) 2;1;1 C − ,

( ) 0; 1;3 D − Gọi ( ) L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức

. . 1 MA MB MC MD = = . Biết rằng ( ) L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng

bao nhiêu?

A. 3 2 r = . B. 5 2 r = . C. 11 2 r = . D. 7 2 r = .