Bài giảng phương trình mặt phẳng

TOANMATH.com Trang 1

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

+ Nắm được công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

+ Nhận biết được vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt cầu.

 Kĩ năng

+ Viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng.

+ Xác định được vectơ pháp tuyến trong các trường hợp.

+ Tính được khoảng cách và góc.

+ Xác định được vị trí tương đối và vận dụng vào giải bài tập.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến

Vectơ 0 n 

 

là vectơ pháp tuyến của   nếu giá của n



vuông góc với . 

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Hai vectơ ,a b



không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của   nếu các giá của chúng song song

hoặc nằm trên . 

Chú ý:

 Nếu n



là một vectơ pháp tuyến của   thì   0 kn k 



cũng là vectơ pháp tuyến của . 

 Nếu ,a b



là một cặp vectơ chỉ phương của   thì , n a b      

là một vectơ pháp tuyến của . 

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

0 Ax By Cz D     với 2 2 2 0 A B C    .

 Nếu ( )  có phương trình 0 Ax By Cz D     thì ( ; ; ) n A B C   là một vectơ pháp tuyến của

( ) .

 Phương trình mặt phẳng đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và có một vectơ pháp tuyến ( ; ; ) n A B C   là:

      0 0 0 0 A x x B y y C z z       .

Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

0 D  . 0 Ax By Cz     đi qua gốc tọa độ O

0 A  0 By Cz D    / / Ox  hoặc  Ox 

TOANMATH.com Trang 2

0 B  0 Ax Cz D    / /Oy  hoặc  Oy 

0 C  0 Ax By D    / /Oz  hoặc  Oz 

0 A B   0 Cz D      / / Oxy  hoặc

   Oxy 

0 A C   0 By D      / / Oxz  hoặc

   Oxz 

0 B C   0 Ax D      / / Oyz  hoặc

   Oyz 

Nếu ( )  cắt các trục toạ độ tại các điểm ( ;0;0),(0; ;0),(0;0; ) a b c với 0 abc  thì ta có phương trình mặt

phẳng theo đoạn chắn ( ) : 1 x y z a b c     .

Chú ý: Nếu trong phương trình ( )  không chứa ẩn nào thì ( )  song song hoặc chứa trục tương ứng.

2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian , Oxyz cho điểm   ; ; A A A A x y z và mặt phẳng

( ): 0 Ax By Cz D      .

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )  được tính theo công thức:

2 2 2 d( ,( ))

A A A Ax By Cz D A

A B C

   

  

3. Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian , Oxyz cho hai mặt phẳng

1 1 1 1 2 2 2 2 ( ): 0; ( ): 0 A x B y C z D A x B y C z D          

+) 1 1 1 1

2 2 2 2 ( ) ( ) A B C D A B C D        .

+) 1 1 1 1

2 2 2 2 ( ) / /( ) A B C D A B C D       .

+) 1 1

2 2 ( ) ( ) A B A B      hoặc 1 1

2 2

B C B C  .

+) 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 A A B B C C        .

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian , Oxyz cho mặt phẳng và mặt cầu

TOANMATH.com Trang 3

( ): 0 Ax By Cz D      ;

2 2 2 2 ( ) :( ) ( ) ( ) S x a y b z c R       .

Để xét vị trí của ( )  và ( ) S ta làm như sau:

+) Nếu    , d I R   thì ( )  không cắt ( ) S .

+) Nếu    , d I R   thì   tiếp xúc  S tại . H Khi đó H được gọi là

tiếp điểm đồng thời H là hình chiếu vuông góc của I lên   và  

được gọi là tiếp diện.

+) Nếu    , d I R   thì  cắt  S theo đường tròn có phương trình



2 2 2 2 ( ) ( ) ( ):

0.

x a y b z c R C

Ax By Cz D

       

    

Bán kính của  C là 2 2 d [ ,( )] r R I    .

Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên  .

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian , Oxyz cho hai mặt phẳng

1 1 1 1 ( ): 0 A x B y C z D      và 2 2 2 2 ( ): 0 A x B y C z D      .

Góc giữa ( )  và ( )  bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến , . n n     Tức là

    1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos , cos , . n n A A B B C C n n

n n A B C A B C

       …