Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Lê Văn Đoàn

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) – 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 73 -

§ 1. HEÄ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN



1. Định nghĩa hệ trục tọa độ

Hệ gồm 3 trục , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và

chung điểm gốc . O Gọi (1;0;0), i 



(0;1;0) j  

và (0;0;1) k 



là các véctơ đơn vị, tương ứng trên các trục , , . Ox Oy Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian hay gọi là hệ trục . Oxyz

Lưu ý: 2 2 2 1 i j k      

và . . . 0. i j i k k j        

2. Tọa độ véctơ

Định nghĩa: ( ; ; ) . . . . a x y z a x i y j z k     

    

Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), . a a a a b b b b k      

 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ). a b a b a b a b         1 2 3 . ( ; ; ). k a ka ka ka  

 Hai véctơ bằng nhau

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b a b

         

   1 2 3

1 2 3 . a a a a b a k b b b b           

 Môđun (độ dài) véctơ: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . a a a a a a a a         

 Tích vô hướng: 1 1 2 2 3 3 . . .cos( , ) . a b a b a b a b a b a b          

Suy ra:

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

0.

. cos( ; )

. .

a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a a a b b b

                  

         

3. Tọa độ điểm

Định nghĩa: ( ; ; ) . . . ( ; ; ). M a b c OM a i b j c k a b c         

Cần nhớ: ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 0, 0, 0 M Oxy z M Oyz x M Oxz y M Ox y z M Oy x z M Oz x y

                         

Tính chất: cho hai điểm ( ; ; ), ( ; ; ). A A A B B B A x y z B x y z

 ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z     

2 2 2 ( ) ( ) ( ) . B A B A B A AB x x y y z z       

 Gọi M là trung điểm AB  ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M

             

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G

                 

 Gọi G là trọng tâm của tứ diện , ABCD khi đó tọa độ điểm G là

; ; 4 4 4

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G

                   

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 3 Chương

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) – 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 74 -

4. Tích có hướng của hai véctơ

Định nghĩa: Trong hệ trục tọa độ , Oxyz cho 2 véctơ

1 2 3

1 2 3

( ; ; )

( ; ; )

a a a a

b b b b

      

  Tích có hướng của hai véctơ

, a b

  là một véctơ, ký hiệu là [ , ] a b

  (hoặc ) a b 

  và được xác định bởi công thức:

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

[ , ] ; ; ; ; . a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

                

 

Lưu ý: Nếu [ , ] c a b 

   thì ta luôn có c a    và . c b 

 

Tính chất:

 [ , ] , [ , ] , [ , ] . i j k j k i k i j           

 [ , ] , [ , ] . a b a a b b        

 [ , ] . .sin( ; ). a b a b a b         [ , ] 0. a b a b        

Ứng dụng của tích có hướng:

 Để , , a b c    đồng phẳng [ , ]. 0. a b c      Ngược lại, để , , a b c    không đồng phẳng thì [ , ]. 0 a b c 

   (thường gọi là tích hỗn tạp). Do đó để chứng minh 4 điểm , , , A B C D là bốn điểm của một tứ diện, ta cần chứng minh

, , AB AC AD   

không đồng phẳng, nghĩa là , . 0. AB AC AD       

 

Ngược lại, để chứng minh 4 điểm , , , A B C D đồng phẳng, ta cần chứng minh , , AB AC AD   

cùng thuộc một mặt phẳng , . 0. AB AC AD        

 

 Diện tích của hình bình hành ABCD là , ABCD S AB AD         



 Diện tích ABC  là 1 , 2 ABC S AB AC 

        



 Thể tích …