Phương pháp tọa độ hóa hình không gian

TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TOÁN HỌC

1 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH CỔ ĐIỂN

Tạp chí và tư liệu toán học Đôi khi trong giải toán hình học không gian cổ điển ta sẽ gặp khá nhiều bài toán tính toán phức tạp, tuy nhiên trong phòng thi ta lại không có nhiều thời gian, vì thế trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp giải quyết nhanh các bài toán tính toán phức tạp và khó trong hình không gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách.

I. Ý TƯỞNG.

PHƯƠNG PHÁP Trên mạng có một vài tài liệu nói về phương pháp này và chia thành rất nhiều dạng, điều đó làm chúng ta khi áp dụng có phần khó nhớ và máy móc, tuy nhiên chúng ta chỉ cần nắm được dấu hiệu và phương pháp sau

 Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ. Trong bước này ta sẽ xác định 3 đường vuông góc có trong bài

toán và gọi đó là 3 đường cơ sở. Thông thường thì ta sẽ quy ước trục Ox hướng vào mình, trục Oz nằm ngang, còn lại là trục Oy  Bước 2. Xác định tọa độ các điểm liên trên hình liên quan tới bài toán. Với những bạn chưa

quen thì chúng ta xác định tọa độ hình chiếu của điểm cần tìm lên các trục, từ đó sẽ suy ra được tọa độ điểm cần tính.  Bước 3. Áp dụng công thức. Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một số công thức cần nhớ trong phần này. Diện tích và thể tích

Diện tích tam giác ABC: 1 , 2 S AB AC     

Thể tích tứ diện ABCD: 1 , . 6 V AB AC AD     

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: , . ' V AB AD AA    

Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: 1 , . ' 2 V AB AD AA     

Góc giữa 2 mặt phẳng: Mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến n và mặt phẳng  Q có vecto pháp

tuyến ' n thì      cos , = cos , ' P Q n n

Góc giữa 2 đường thẳng: Đường thẳng d có VTCP u và d’ có VTCP v thì     cos , ' cos , d d u v 

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng d có VTCP u và (P) có VTPT n thì

     sin , cos , d P u n 

Khoảng cách từ   0 0 0 0 , , M x y z đến mặt phẳng:

   Oxy là 0z ;   Oyz là 0x ;   Ozx là 0 y

 : 0 P Ax By Cz D     là  

0 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M P

A B C

   

 

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH CỔ ĐIỂN

Điều ta biết là giọt nƣớc, điều ta chƣa biết là đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí và tƣ liệu toán học | 2

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng:

Cho   0 0 0 0 , , M x y z và đường thẳng d qua A và có VTCP u AB  thì  

0

0

, ,

AM u d M d

u

    

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng 1d qua 1 M và có VTCP 1 2 ; u d qua

2 M và có VTCP thì  

1 2 1 2

1 2

1 2

, . ,

,

u u M M d d d

u u

    

   

Chú ý. Thông thường các bài mà không có 3 đường vuông góc thì ta sẽ phải tự dựng thêm để gắn tọa độ và những bài liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có 3 đường vuông góc, lăng trụ đứng thì khi áp dụng phương pháp này sẽ giải rất nhanh !

II. CÁC BÀI TOÁN.

Câu 1 Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp . S CMN .

Lời giải

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ và xét 1 a .

Khi đó H O  ,   0;1;0 M , 1 ;1;0 2 C       

, 1 1 ; ;0 2 2 N       

, 3 0;0; 2 S        

.

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp chóp . S CMN có dạng 

2 2 2 : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d        ,   2 2 2 0 a b c d     .

H O 

D

N C

M

B A

S

x

y

z