Các dạng toán phương trình đường thẳng Oxyz - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo v−ơng ‐ 0946798489 Page | 1

Chú ý:

Đi kèm với họ đường thẳng (dm) thường có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ (dm) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số đường thẳng của họ (dm) đi qua M.

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ đường thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng cố định, để thực hiện yêu cầu

này chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Khử m từ hệ của phương trình (d), ta được: Ax + By + Cz + D = 0 (1)

Khi đó (1) chính là phương trình của mặt phẳng cố định (P) chứa các đường thẳng của họ (dm).

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau:

B−íc 1: Chùm mặt phẳng tạo bởi trục (dm) có phương trình: [A1(m)x + B1(m)y + C1(m)z + D1(m)] + [A2(m)x + B2(m)y + C2(m)z + D2(m)] = 0. (2) B−íc 2: Lựa chọn các giá trị thích hợp của , , đưa (2) về dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (3) B−íc 3: Khi đó (3) chính là phương trình của mặt phẳng cố định (P) chứa các đường thẳng của họ (dm).

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình: x 2 (m 1)t y 1 (m 1)t z mt

          

, t  . (1)

a. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình của một họ đường thẳng kí hiệu là (dm), từ đó chỉ ra điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua. b. Điểm A(3; 1; 1) có thuộc đường thẳng nào của họ (dm) không.

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp

Ta có:

1. Phương trình , với điều kiện a2 + b2 + c2 > 0 là phương trình tham số của một

đường thẳng (d). Khi đó, đường thẳng (d) có vectơ vtcp là và đi qua điểm

M0(x0; y0; z0).

2. Phương trình: với điều kiện abc ≠ 0 là phương trình chính tắc của một đường

thẳng (d). Khi đó, đường thẳng (d) có vectơ vtcp là và đi qua điểm M0(x0; y0; z0).

3. Phương trình: là phương trình của một đường thẳng khi và chỉ khi:

A1:B1:C1  A2:B2:C2   .

Khi đó, vectơ = là một vtcp của (d).

DẠNG 1. Phương trình đường thẳng

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo v−ơng ‐ 0946798489 Page | 2

c. Chứng minh rằng họ đường thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố định, tìm phương trình mặt phẳng (P). d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mọi đường thẳng của họ (dm) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + 2z  1 = 0.

e. Viết phương trình mặt cầu có bán kính R 2 6  tiếp xúc với mọi đường thẳng của họ (dm).

Ví dụ 2. Cho phương trình: x 1 my z 1 2m 2 m     .(1)

a. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) là phương trình chính tắc của một đường thẳng, gọi là họ (dm). b. Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua. c. Chứng tỏ rằng họ đường thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng cố định. Nhận xét: Với mặt phẳng (Q) chúng ta còn gặp một dạng toán là ʺTìm đường thẳng cố định luôn thuộc họ mặt phẳng

(Q)ʺ. Thí dụ với mặt phẳng (Q): x + my  3mz  m  1 = 0 ta thực hiện phép biến đổi:

(Q): x ‐ 1 + m(y  3z ‐ 1) = 0

Từ đó, suy ra đường thẳng cố định thuộc họ mặt phẳng (Q) có phương trình:(d): x 1 0

y 3z 1 0

     .

Như vậy, để chứng minh họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định, ta thực hiện

theo các bước:

Bước 1. Biến đổi phương trình của họ (Pm) về dạng:f(x, y, z) + mg(x, y, z) = 0. Bước 2. Vậy, họ (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định có phương trình:

(d): f (x,y,z) 0

g(x,y,z) 0

     .

Phương pháp

Để viết phương trình đường thẳng (d), ta sử dụng các kết quả:

Cách 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết vtcp hoặc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt đã

được trình bày trong phần phương trình đường thẳng.

Cách 2: Đường thẳng được coi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2) chứa nó. Từ đó, ta thực

hiện theo các bước:

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0. Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Bước 3. Đường thẳng (d) gồm những điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ phương trình:

. (*)

Bước 4. Chọn một điểm M0 thoả mãn hệ (*) và một vtcp của đường thẳng (d) được xác

định bởi: = .

Bước 5. Viết dạng phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu của bài toán (trong nhiều …