Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ - Trần Đình Cư

GIẢ I BẢ I TOẢ N HI NH

HO C KHO NG GIẢN BẢ NG PHƯƠNG PHẢ P

TO Ả ĐO

Tài liệu này thân tặng các em học

sinh Khối 12- chuẩn bị kỳ thi

THPT Quốc Gia 2016

HUẾ, 05/05/2016

BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

CƠ SỞ 1. 4/101 LÊ HUÂN - TP HUẾ CƠ SỞ 2. 46/1 CHU VĂN AN - TP HUẾ

SĐT: 01234332133

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT: 01234332133

1

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đ{y ABC l| tam gi{c vuông tại A, AB a,AC 2a,AA' b    .

Gọi M, N lần lượt l| trung điểm của BB’ v| AB.

a. Tính theo a v| b thể tích của tứ diện A’CMN.

b. Tính tỉ số b

a để B'C AC'  .

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A  , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi

qua cấc điểm B, C, A’. Khi đó   A 0;0;0 ,   B a;0;0 ,

      C 0;2a;0 ,A' 0;0;b ,B' a;0;b ,   C' 0;2a; , b a M a;0; ,N ;0;0 2 2            

a. Thể tích của tứ diện A’CMN l|:

1 V A'C,A'M .A'N 6

    

Ta có   A'C 0;2a; b   , b A'M a;0; 2        

, a A'N ;0; b 2        

  2

2 2 2

A'C,A'M ab; ab; 2a

a b 3a b A'C,A'M .A'N 0 2a b 2 4

       

        

Vậy

2 2

A'CMN

1 3a b a b V 6 4 8  

b. Ta có:     B'C a; 2a;c , AC' 0;2a;b   

2 2 b B'C AC' B'C.AC' 0 0 4a b 0 b 2a 2 a           

Bài 2. Cho hai hình chữ nhật ABCD v| ABEF ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,

AB 2a,BC BE a    . Trên đường chéo AE lấy điểm M v| trên đường chéo BD lất điểm N sao cho

AM BN k AE BD   với   k 0;1  . Tính k để MN l| đoạn vuông góc chung của AE v| BD.

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O  , c{c tia Ox, Oy, Oz

lần lượt đi qua D, B, F. Khi đó   A 0;0;0 ,

      B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 ,     E 0;2a;a , F 0;0;a

Ta có:   AM k AM kAE, k 0;1 AE    

M| AM v| AE cùng hướng nên AM kAE  , đo đó tọa độ của M l|:

M E

M E

M E

x kx 0

y ky 2ka

z kz ka

          

hay   M 0;2ka;ka

x

y

z

O

M

N

A' C'

B

C A

B'

z

y

x

O≡A

E

C D

F

B

M

N

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT: 01234332133

2

Tương tự

     

N

N

N

x 0 k a 0

BN kBD y 2a k 0 2a

z 0 k 0 0

               

hay   N ka;2a 2ka;0 

Ta có:

 

 

 

MN ka;2a 4ka; ka

AE 0;2a;a

BD a; 2a;0

          

MN l| đoạn vuông góc chung của AE v| BD

2 2 2

2 2 2 MN.AE 0 4a 8ka ka 0 4 k 9 MN.BD 0 ka 4a 8ka 0

                     

Vậy MN l| đoạn vuông góc chung của AE v| BD khi 4 k 9 

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Trên c{c cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy c{c

điểm M, N, P sao cho B'M CN D'P x    ,   x 0;a  .

a. Chứng minh   AC' MNP  .

b. X{c định vị trí của M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé nhất.

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A  , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi

qua c{c điểm B, D, A’. Khi đó     A 0;0;0 , B a;0;0 ,   C a;a;0 ,

  D 0;a;0 ,   A' 0;0;a ,   B' a;0;a ,

      C' a;a;a , D' 0;a;a , M a;0;a x  ,     N a x;a;0 , P 0;a x;a  

a. Ta có   AC' a;a;a 

 

 

MN x;a; a x

MP a;a x;x

 

 

AC'.MN 0 AC' MN

AC'.MP 0 AC' MP

               

  AC' MNP   (đpcm)

b. Ta có  

2 2 2 2 2 MN MP NP x a a x 2x 2ax 2a         

Tam gi{c MNP l| tam gi{c đều có cạnh bằng 2 2 2 x ax a  

Diện tích của tam gi{c MNP l|:  

2

2 2 MN 3 3 S x ax a 4 2    

hay

2 2 2 3 a 3a 3a 3 S x 2 2 4 8

                 

Dấu “=” xảy ra a x 2  

Vậy 

2 3a 3 min S 8  khi M, N, P lần lượt l| trung điểm của c{c cạnh BB’, CD, A’D’.

Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm của AD

v| BB’. Chứng minh   AC' AB'D'  v| tính thể tích của khối tứ diện A’CMN.

Giải

x

y

x

z

x

x D'

C'

A'

B'

D

B C

A

M

P

N