Chuyên đề HH giải tích không gian - Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

231

 Chuyên đề 8:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

 Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

TỌA ĐỘ

1. 1 2 3 1 2 3 u (u ; u ; u ) u u i u j u k     

2. 1 1 2 2 3 3 a b (a b ; a b ; a b )     

3.    1 1 2 2 3 3 a.b a b a b a b

4. 3 1 1 2 2 3

2 3 3 1 1 2

a a a a a a a,b ; ; b b b b b b

          

5.    2 2 2 1 2 3 a a a a

6.

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

7. a.b Cos(a,b)

a . b

8. 1 2 3 1 2 3 a cùng phương b a,b 0 a :a :a b : b : b        

9.       a,b,c đồng phẳng a,b .c 0

10. Diện tích tam giác:       ABC

1 S AB,AC 2

11. Thể tích tứ diện ABCD:      ABCD

1 V AB,AC AD 6

12. Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D':       ABCD.A B C D V AB,AD AA

MẶT PHẲNG

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá vuông góc

mặt phẳng.

 Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = 0 (    2 2 2 A B C 0 )

 0 0 0 đi qua M(x ; y ; z ) ( ):

co ù vectơ pháp tuyến : n (A;B;C)

    

       0 0 0 ( ): A(x x ) B(y y ) C(z z ) = 0

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

232

 Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz lần lượt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khác 0)

    x y z ( ): 1 a b c

 Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0

ĐƯỜNG THẲNG

 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá cùng

phương với đường thẳng.

 0 0 0

1 2 3

đi qua M (x ; y ; z ) d :

có vectơ chỉ phương a (a ; a ; a )

  

0 0 0

1 2 3 1 2 3

x x y y z z Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0) a a a      

 Đường thẳng đặc biệt: y 0 x 0 x 0 Ox : ; Oy : ; Oz z 0 z 0 y 0               

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: x 1 y z 3 2 1 2     . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với

đường thẳng d và cắt trục Ox.

Giải

 Gọi M là giao điểm của  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3)

 Véctơ chỉ phương của d là a = (2; 1; –2).

   d  AM  d  AM.a 0   2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = 0  m = –1.

 Đường thẳng  đi qua M và nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ chỉ phương

nên có phương trình: x 1 y 2 z 3 2 2 3      .

Cách 2.

  đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt

phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox.

  đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt

phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d.

 Ta có: +) Vectơ pháp tuyến của (P) là (P) n OA,i    .



d

A

 

O x P

Q

M

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

233

+) Vectơ pháp tuyến của (Q) là (Q) d n a  .

  = (P)(Q)  véctơ chỉ phương của  là: (P) (Q) a n ,n     .

Cách 3.

 Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.

 Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  M(–1; 0; 0).

 Véctơ chỉ phương của  là: AM . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 2 y 1 z 5 1 3 2     

và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .

Giải

 Đường thẳng  đi qua E(–2; 1; –5) và có vectơ chỉ phương   a 1; 3; 2   nên

có phương trình tham số là:

x 2 t y 1 3t z 5 2t

     

(t  R).

 M      M 2 t; 1 3t; 5 2t   

   AB 1; 2 ; 1  ,   AM t; 3t; 6 2t   ,   AB,AM t 12; t 6; t        .

 SMAB = 3 5  1 AB,AM 3 5 2

         2 2 2 t 12 t 6 t 6 5     

 3t2 + 36t = 0  t = 0 hoặc t = –12.

Vậy M(–2; 1; –5) hoặc M(–14; –35; 19). Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :     x 2 y 2 z 1 1 1

và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .

Giải Tọa độ giao điểm I của  với (P) thỏa mãn hệ:

  x 2 y 2 z

I 3; 1; l 1 1 1 x 2y 3z 4 0

           …