Đề giao lưu HSG Toán 6 năm 2017 - 2018 phòng GDĐT Tam Dương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi này gồm 01 trang

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018

MÔN : TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!

Câu 1. ( 5,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: 10.11+50.55+70.77

11.12+55.60+77.84

b) Tìm số tự nhiên x, biết: x x 1 x 2 18 5 .5 .5 1000...0: 2  

c) Tìm hiệu a - b, biết rằng:

a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ 98.99 và b = 12 + 22 + 32 + … + 982

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Cho A = 5 + 52 +…+ 5100. Tìm số tự nhiên n, biết rằng: 4.A + 5 = 5n

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 7 21

3 18

  n n có thể rút gọn được.

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và

chia cho 19 dư 11.

b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi

2016 2018 p  là số nguyên tố hay hợp số?

c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp đôi tích các chữ số của nó.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hai góc  AOx = 380 và  BOx =1120. Biết rằng  AOx và  BOx không kề nhau.

a) Trong ba tia OA, OB, Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?

b) Tính số đo góc AOB.

c) Vẽ tia phân giác OM của góc AOB. Tính số đo góc MOx.

d) Nếu  AOx = ;  BOx = , trong đó 00 <  +  < 1800 và  ≠ . Tìm điều kiện liên

hệ giữa  và  để tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox. Tính số đo  MOx theo  và .

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho 100 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số

mà hiệu của hai số tùy ý chia hết cho 7.

----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:...........................

18 chữ số 0

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6 - NĂM HỌC 2017-2018

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6

(HDC này gồm 03 trang)

Câu Nội dung Điểm

1

a Ta có: 10.11+50.55+70.77

11.12+55.60+77.84 = 10.11(1+5.5+7.7)

11.12(1+5.5+7.7) = 5

6 2,0

b

Ta có:

x x 1 x 2 18

18c/sô0 5 .5 .5 1000...0 : 2   

x x 1 x 2 18 18 5 10 : 2  0,5



18 18 3x 3 18 18 10 10 10 10 5 . ... 5 2 2 2 2

         

0,5

3x 3 18   x = 5 0,5

c

Ta có: a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ 98.99

= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + ... + 98.(1 + 98) 0,25

= 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + ... + 98 + 982 0,25

= (12 + 22 + 32 + ... + 982) + (1 + 2 + 3 + ... + 98) 0,25

= b + (1 + 2 + 3 + ... + 98) 0,25

= b + (1 + 98).98 : 2 = b + 4851 0,25

Vậy a - b = 4851 0,25

2

a

Ta có: 5A = 52 + 53 +…+ 5101. 0,5

5A – A = (52 + 53 +…+ 5101) – (5 + 52 +…+ 5100) = 5101 - 5 0,5

 4A + 5 = 5101 0,25

Lại có: 4.A + 5 = 5n5n = 5101 . Vậy n = 101 0,25

b

Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d 0,25

Khi đó: 18 n + 3 d và 21n + 7 d  6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d  21 d  d Ư(21) = { 3 ; 7} 0,25

+) Nếu d = 3 không xảy ra vì 21n + 7 không chia hết cho 3. 0,25

+) Nếu d = 7 khi đó, để phân số có thể rút gọn được thì: 18n + 3  7 ( vì 21 7 7) n 

 18n + 3 – 21  7

18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1n – 17  n = 7k + 1 ( k N  )

0,5

Vậy để phân số 7 21

3 18

  n n

có thể rút gọn được thì n = 7k + 1 ( k N  ) 0,25