Đề thi chọn HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT thành phố Bắc Ninh

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023-2024

Môn thi: Toán 7 Ngày thi: 10/04/2024 Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian phát đề

Bài 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

1) 7 5 7 12 30 . . 23 17 17 23 23 A     ;

3 3 0,375 0,3 11 12 . 5 5 0,625 0,5 11 12

B

   

  

2) 3 2 , C x y z    biết 5; 8. x y y z    

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Tìm x biết : 2 11 3 2 2 x   .

2) Tìm ,x y thỏa mãn: 3 1 7 4 3 7 5 4 5 3 x y x y x       .

Bài 3. (3,0 điểm)

1) Cho 2 2 ; b ac c bd   ( , , , a b c d khác 0). Chứng minh rằng:

3 12 3 5 12 3 5 a b c a b c d d          

.

2) Cho , , , a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 2 2 2023 2024 a b c d     . Chứng minh rằng

a b c d    là hợp số. Bài 4. (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại   , 2 A B C  kẻ AH vuông góc với BC tại . H Trên tia HC lấy điểm

D sao cho HD HB  . Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại E . a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng ; // . DE DH HE AC 

c) Gọi K là giao điểm của AH và , CE lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng HE   , I H I E   .

Chứng minh rằng 3 . 2 AC IA IK IC   

2) Cho tam giác ABC có   15 , 45 BAC ABC    . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho

2 CD CB  . Tính số đo  ADC .

Bài 5. (2,0 điểm) 1) Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó.

Tìm số may mắn có bốn chữ số. 2) Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. Hết

Họ và tên thí sinh…………………………SBD………………………………

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023-2024

Môn : Toán 7

Câu Đáp án Điểm

1 7 5 7 12 30 . . 23 17 17 23 23 A     1,5

7 5 7 12 30 7 5 12 30 . . . 23 17 17 23 23 23 17 17 23 A              

0,75

7 30 23 .1 1. 23 23 23      

0,75

3 3 0,375 0,3 11 12 5 5 0,625 0,5 11 12

B

   

  

1,5

3 3 3 3 3 3 0,375 0,3 8 10 11 12 11 12 5 5 5 5 5 5 0,625 0,5 11 12 8 10 11 12

B

             

0,75

1 1 1 1 3. 3 8 10 11 12 1 1 1 1 5 5. 8 10 11 12

                   

0,75

3 2 , C x y z    biết 5; 8. x y y z     1,0

Ta có     3 2 2 C x y z x y y z        0,5

Thay 5; 8 x y y z     vào C ta được:   5 2. 8 11 C     0,5

2.1 Tìm x biết : 2 11 3 2 2 x   . 2,0

2

2

2

11 3 11 3 2 2 11 3 2 2

2 2

x x

x

         

TH1: 2 2 11 3 4 2 2 2 x x x      

TH2: 2 2 11 3 7 7 2 2 x x x       

Vậy   2; 7 x 

2.2 Tìm ,x y thỏa mãn: 3 1 7 4 3 7 5 4 5 3 x y x y x       2,0

+ Nếu 3 7 5 0 x y    thì 3 1 0

7 4 0

x

y

     

1 3

4 7

x

y

  

  

0,5

+ Nếu 3 7 5 0 x y    thì áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3 1 7 4 3 7 5 4 5 9 x y x y       0 3 7 5 3 7 5 9 3 x y x y x        3 x  

0,75

Từ (1) 3.3 1 7 4 4 5 y     2 y  

Vậy     1 4 , ; , 3;2 3 7 x y            

0,75

3.1 Cho 2 2 ; b ac c bd   ( , , , a b c d khác 0). Chứng minh rằng:

3 12 3 5 12 3 5 a b c a b c d d          

. 1,5

Từ 2 b ac  suy ra a b b c  ;

Từ 2c bd  suy ra b c c d  .

Do đó: a b c b c d  

0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

12 3 5 12 3 5 a b c a b c b c d b c d        0,5

Suy ra

3 3 12 3 5 12 3 5 a a b c b b c d                 

Hay

3 12 3 5 . . 12 3 5 a b c a b c b c d b c d          

Vậy

3 12 3 5 12 3 5 a a b c d b c d          

0,5

3.2

Cho , , , a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 2 2 2023 2024 a b c d     . Chứng minh rằng a b c d    là hợp số. 1,5