Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Yên Định - Thanh Hóa

UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

LỚP 7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 – 2024

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 26 tháng 3 năm 2024 Câu 1: (4 điểm)

1. Tính bằng cách hợp lí:

a) A = 2000 4 24 5 20 2024 24 2024 7 24        b) B = 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 3 4 5 2024                      

2. Tìm x, y biết:  

2024 2 2 6 3 12 0 x x y     

Câu 2: (4 điểm)

1. Tìm các số x, y, z biết và 2 2 2 9 3 60 x y z   

2. Cho đa thức bậc hai: 

2 f x ax bx c    (x là ẩn; a, b, c là hệ số).

Biết rằng:  0 2020 f  ,  1 2021 f  ,   1 2023 f   . Tính  2 f .

Câu 3: (4 điểm)

1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: d abc chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a d b c    cũng chia hết cho 3 2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6. Câu 5: (6 điểm) Cho ABC c n t i , trên c nh BC l y điểm D (D không trùng với B và C), trên tia đối c a tia CB l y điểm E sao cho BD CE, qua D k đ ờng th ng vuông g c với BC cắt B t i M, qua E k đ ờng th ng vuông g c với BC cắt C t i N.

1. Chứng minh rằng: DM EN. 2. Chứng minh rằng đ ờng th ng BC cắt MN t i trung điểm c a MN.

3. Đ ờng th ng vuông g c với MN t i cắt tia ph n giác c a BAC t i O.

Chứng minh rằng:

2 2 2

. . . 2 OM ON MN OM ON ON MN MN OM     

Câu 6: (2 điểm) Chứng tỏ rằng: 2 3 2024 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 3 2 2 2 2 P                        

---------------Hết-----------------

Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………………….SBD:…………………………….

5 4 3 z y x  



ĐỀ THI CHÍNH THỨC

H-ớng dẫn chấm môn toán khối 7

Câu Đáp án Biểu điểm

1 (4 điểm)

1.

a) A = 2000 4 24 5 20 2024 24 2024 7 24       

5 5 5 ( 1 1) 0 7 7 7     

b) B = 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 3 4 5 2024                      

= 4 5 6 2025 . . ... 3 4 5 2024

= 2025 675 3 

1 0.75 0.25

2. Tìm x; y biết:  

2024 2 2 6 3 12 0 x x y     

Vì:  

2024

2 2 6 0

3 12 0

x

x y

 

  

mọi x,y

Nên để:  

2024 2 2 6 3 12 0 x x y      thì:

 

2024

2 2

3 2 6 0 3 9 3 12 0 3 12 0 3 12 0

x x x

y x y x y

                         

3 3 9 3 12 0 1 x x y y              

Vậy:   ( , ) (3; 1),( 3; 1) x y   

0,25 0,25 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5

2 (4 điểm)

1. Tìm các số x, y, z biết và 2 2 2 9 3 60 x y z   

Đặt

3 3x 4 4 5 5

k x y z k y k

z k

           

Mà: 2 2 2 9 3 60 x y z    nên: 2 2 2 9( ) (4 ) 3(5 ) 60 3 k k k   

Suy ra: 2 60 60 1 k k   

0.5 0.75 0.75

5 4 3 z y x  

Với k 1 thì

1 3 4

5

x

y

z

        

Với k -1 thì:

1 3

4

5

x

y

z

         

Vậy :   1 1 ; ; ( ;4;5),( ; 4; 5) 3 3 x y z          

2. Cho đa thức bậc hai: 

2 f x ax bx c    (x là ẩn; a, b, c là hệ số).

Biết rằng:  0 2020 f  ,  1 2021 f  ,   1 2023 f   . Tính  2 f .

Xét x = 0: (0) 2020 2020 f c    Xét x = 1: (1) 2021 2021 1 f a b c a b        (1) Xét x = -1: ( 1) 2023 2023 3 f a b c a b         (2) Cộng vế (1) và (2) suy ra a 2 Thay a 2 vào (1) tìm đ ợc: b -1 Từ đ tìm đ ợc 

2 2x 2020 f x x   

Suy ra: ( )

0.5 0.5 0.5 0.5

3 (4 điểm)

1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: d abc chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a d b c    cũng chia hết cho 3 Vì d abc chia hết cho 3 nên 3 a b c d   Nên ta đi chứng minh: 3 3 3 3 a d 3 b c    Xét 3 2 a ( 1) ( 1)( 1) 3 a a a a a a      

T ơng tự:

3

3

3

3

3

3

b b

c c

d d







Nên 3 3 3 3 (a d ) ( ) 3 b c a b c d      Mà 3 a b c d  nên 3 3 3 3 a d 3 b c    Ta đ ợc điều phải chứng minh.

0.5 0.5 0.5 0.5

2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là

các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6.

. Vì a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số l và …