Đề thi Olympic Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Thanh Oai - Hà Nội

PHÒNG GDĐT THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán – Lớp: 7

Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2022

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5điểm): Chọn 01 đáp án đúng nhất cho mỗi câu hỏi.

1. Kết quả của phép tính 7 24 1 1 9 25    là:

A. 0 B. 2 C. 23

15 D. 409

225

2. Tổng các giá trị của x thỏa mãn 2 2 ( 2)( 1)( 4) x x x    = 0 là:

A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 3. Một tam giác cân có số đo góc ở đáy bằng 50 độ thì số đo góc ở đỉnh là:

A. 800 B. 500 C. 1000 D. 1300

4. Tính giá trị biểu thức B = 5x2−2x−18 tại |x| = 4 là

A. 54 B. 70 C. 45 hoặc 70 D. 54 hoặc 70

5. Thu gọn biểu thức sau −12u2(uv)2−(−11u4).(2v)2 ta được đơn thức có phần hệ số là:

A. −32 B. −56 C. 10 D. 32

6. Cho ΔABC có cạnh AB = 1cm và cạnh BC = 4cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên.

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

7. Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 1 2  thì đại lượng y tỉ lệ

thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là:

A. 2 B. -2 C. 1

2  D. 1

2

8. Cho biết 20 công nhân làm xong một đoạn đường hết 60 ngày. Hỏi 15 công nhân làm đoạn đường đó thì hết bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)

A. 45 B. 80 C. 90 D. 100

9. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2 x y xy   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10. Cho các số , , x y z biết 1 2 3 2 3 4 x y z      và 2 3 50. x y z    Khi đó x y z   có

giá trị là:

A. 52 B. 51 C. 53 D. 54

PHẦN II. TỰ LUẬN (15 điểm) Câu 1. (5 điểm)

1. Cho biểu thức: A = 6 8 2 3 x x

  với x3

2

a. Tính giá trị của biểu thức A biết 1 3 x  - 2 = -1

b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

2. Tìm ,x ybiết:  

2 2 36 8 2023 y x   

Câu 2. (4 điểm)

1. Cho các số có hai chữ số ; ab bc thỏa mãn   0 ab b c c bc

  . Chứng minh rằng

2 2

2 2 a b a b c c   

2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết 2 p  cũng là số nguyên tố. Chứng

minh rằng 1 p  chia hết cho 6

Câu 3. (5 điểm) Cho ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho AM= MD

1) Chứng minh: AB//CD và AM = 1

2 BC

2) Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh: IM = MK b) Chứng minh: KN < MC b) ABC thỏa mãn điều kiện gì để AI = IM = MK = KD? Câu 4. (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để: A = 2n + 3n + 4n là một số chính phương.

- Hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng tài liệu. Họ và tên: ……………………………………………………. Số báo danh: ………… Học sinh Trường THCS: ………………………………………………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5đ) Mỗi câu trả lời đúng x 0,5đ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A A D D D B B C B PHẦN II. TỰ LUẬN (15đ) Câu Nội dung Điểm 1.1a 1 3 x  - 2 = -1 => 1 3 x  = 1

=> x = 2

3 hoặc x = 4 3 

Với x = 2

3 thỏa mãn điều kiện x3

2 thay vào biểu thức A tính

được A = 12/5

Với x = 4 3  thỏa mãn điều kiện x3

2 thay vào biểu thức A tính

được A = 48/17

0,5

0,5

0,5

0,5

2

1.1b A= 6 8 2 3 x x

  = 3(2 3) 1 2 3 x

x

   = 3 + 1 2 3 x 

A lớn nhất khi 1 2 3 x  lớn nhất

1 2 3 x  lớn nhất khi (2x – 3) là số nguyên dương nhỏ nhất

Vậy 2x – 3 = 1 => x= 2 Thay x=2 vào biểu thức A = 4

0,5

0,5

1

1.2    

 

 

 

2 2 2 2

2

2

2

36 8 2023 8. 2023 36

2023 1

2023 0

2023 4

y x y x

x

x

x

      

            

Với  

2 2 2023 1 28( ) x y ktm   

Với  

2 2 2025 2023 4 4 2 2021 x x y y y

           

Với  

2 2 2023 0 2023 36 6 x x y y        

Vậy         ; 2025;2 ; 2021;2 ; 2023;6 x y 

0,5

0,5

0,5

0,5

2

2.1 Với các số có hai chữ số ; ab bc thỏa mãn   0 ab b c c bc

  . Ta có: