Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Quảng Trạch - Quảng Bình

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tính: A = 2 13 8 19 23 1 .(0,5) .3 1 :1 15 15 60 24   + −     b) Tìm x biết: 15 3 5 28 14 12 x − − = −

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm x, y, z biết: ; 3 4 6 8 x y y z = =

và 2 14 x y z + − = − b) Tính giá trị của đa thức P = x3 + x2y - 2x2 – xy – y2 + 3y + x + 2023 với x + y = 2.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho DB = CE. Gọi M là trung điểm của BC, từ B và C kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AD và AE. Chứng minh: a) Tam giác ADE cân; b) AM là tia phân giác của góc DAE; c) BK = CH; d) Ba đường thẳng AM, BH, CK cùng đi qua một điểm.

Câu 4. (2,5 điểm)

a) Chứng minh rằng: nếu x và y là các số nguyên sao cho 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho 17.

b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C = 4 7 2 x x − − có giá trị nguyên.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho 1 1 1 2 3 4 2021 2022 2023 1 1 1 1 ... A = − − − + + + + và

1 1 1007 1008 2022 2023 1 1 ... B = + + + +

Hãy so sánh A và B.

-------------------------------------------Hết-------------------------------------------------

Giám thị không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:........................................................; số báo danh:.................

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài Ý Nội dung đáp án Điểm

1 (2,0)

a (1,0)

A = 2 13 8 19 23 1 .(0,5) .3 1 :1 15 15 60 24   + −    

28 1 8 79 47 . .3 : 15 4 15 60 24   = + −    

7 47 47 : 5 60 24   = + −    

7 2 5 5   = + −     1 =

0,25

0,25

0,25

0,25

b (1,0)

15 3 5 28 14 12 x − − = − 3 15 5 20 14 28 12 21 x ⇒ − = + = 0,25

3 20 14 21 x ⇒ − = hoặc 3 20 14 21 x − = − 0,25

20 3 21 14 x ⇒ = + hoặc 20 3 21 14 x = − + 0,25

7 6 x ⇒ = hoặc 31 42 x = − 0,25

2

a (0,75)

; ; 3 4 6 8 9 12 12 16 9 12 16 x y y z x y y z x y z = = ⇒ = = ⇒ = = 0,25

2 2 14 1 9 12 16 18 12 16 18 12 16 14 x y z x y z x y z + − − = = = = = = = = + − 0,25

1.9 9; 1.12 12; 1.6 6 x y z ⇒ = − = − = − = − = − = − 0,25

b (0,75)

P = x3 + x2y - 2x2 – xy – y2 + 3y + x + 2023 = x2(x + y) – 2x2 – y(x + y) + 3y + x + 2023 0,25 = 2x2 – 2x2 – 2y + 2y + y + x + 2023 0,25 = 2 + 2023 = 2025 0,25

3 (3,0)

Vẽ hình

0,25

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HSG

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN 7

H

A

B C D

K

M

F

E

a (0,75)

Tam giác ABC cân tại A AB AC ⇒ =

và = ⇒ = 0,25

ABD ∆

và ACE ∆ có AB AC = ;

= ; DB CE =

⇒ ABD ∆ = ACE ∆ (c-g-c) 0,25

AD AE ⇒ = ⇒ ADE ∆ cân tại A 0,25

b (0,75)

M là trung điểm của BC MB MC ⇒ = MD ME ⇒ = (vì BD = CE) 0,5 ⇒AM là đường trung tuyến của tam giác ADE 0,25 Mà tam giác ADE cân tại A nên AM cũng là đường phân giác của tam giác ABC ⇒AM là tia phân giác của góc DAE 0,25

c (0,75)

ABD ∆ = ACE ∆ (c-g-c) ⇒ = hay = 0,25 HDB ∆

và KEC ∆ có = = 900; BD CE = ;

=

⇒ HDB ∆ = KEC ∆ (ch-gn) AD AE ⇒ = 0,25

HDC ∆

và KEB ∆ có HD = KE; = ; DC = EB ⇒ HDC ∆ = KEB ∆ (c-g-c) HC KB ⇒ = 0,25

c (0,5)

Gọi F là giao điểm của HB và KC

AHF ∆

và AKF ∆ có: OF cạnh chung; = = 900 AH = AK (vì AD = AE và AD = KE)

⇒ AHF ∆ = AKF ∆ (ch-cgv)

0,25

⇒ = hay AF là tia phân giác của góc HAK hay AF là tia phân giác của góc DAE. Mặt khác, AM là tia phân giác của góc DAE Do đó AF trùng với AM ⇒Ba đường thẳng AM, BH, CK cắt nhau tại F

0,25

4 (2,5)

a (1,0)

2x + 3y  17 ⇒ 9(2x + 3y)  17 ⇒ 18x + 27y  17 0,25 ⇒ 18x + 10x + 17y  17 ⇒ 2(9x + 2x) + 17y  17 0,25 ⇒ 2(9x + 2x)  17 (vì 17y  17) Mà (2,17) = 1 nên 9x + 2x  17 0,25

b (1,0)

p là một số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒p là số nguyên tố lẻ

⇒ p = 2k + 1 (k∈N*) ⇒(p - 1)(p + 1) = (2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1) = 2k.(2k + 2) = 4k(k + 1)

0,25

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1)  2 ⇒ 4k(k + 1)  8 ⇒(p - 1)(p + 1)  8 (1) 0,25

p là một số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒p = 3m + 1 hoặc p= 3m + 2 (m∈N) Khi p = 3m + 1 thì (p – 1)(p + 1) = …