Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Thanh Hà - Hải Dương

UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức

19 3 9 4

9 10 10 2 .27 15.4 .9 A 6 .2 12 − = +

2) Thực hiện phép tính 5 5 5 5 B ... 4.9 9.14 14.19 44.49 = + + + +

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Cho các số , , , 0 a b c d ≠ thoả mãn a c b d = . Chứng tỏ rằng

2 2

2 2 ac a c bd b d + = +

2) Tìm x, biết 1 2 3 4 x x x x + + + + + =

Câu 3 (2,0 điểm).

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + 2y = 11. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ABC ∆ có góc A nhọn, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC.

1) Chứng minh AM ⊥ xy. 2) So sánh các cạnh của AMB ∆ . 3) Gọi O là điểm nằm trong AMC ∆ . Chứng minh OA + OC < MA + MC Câu 5 (1,0 điểm).

Cho ; ; x y z không âm thoả mãn 3 2022 x z + = và 2 2023 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z = + + .

-------------------Hết-----------------

Họ và tên thí sinh: …………………... Họ, tên chữ ký GT1: …………………

Số báo danh: ………………………… Họ, tên chữ ký GT2: …………………

UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm

Câu 1

2,0đ

1)

19 3 9 4 19 9 18 8

9 10 10 9 9 10 20 10 2 .27 15.4 .9 2 .3 3.5.2 .3 A 6 .2 12 3 .2 .2 2 .3 − − = = + + 0,25

19 9 18 9

9 19 20 10 2 .3 5.2 .3 3 .2 2 .3 − = + 0,25

= 2 5 2 4.3 − + 0,25

3 14 − = 0,25

2) 5 5 5 5 B ... 4.9 9.14 14.19 44.49 = + + + + 1 1 1 1 1 1 ... 4 9 9 14 44 49 = − + − + + − 0,25

1 1 4 49 = − 0,25

49 4 4.49 − = 0,25

45 196 = 0,25

Câu 2

2,0đ

1)

2

2 . . a c a a c a a ac b d b b d b b bd = ⇒ = ⇒ = ,

tương tự ta có

2

2 c ac d bd =

0,25

2 2

2 2 a c ac b d bd ⇒ = = 0,25

2 2 2 2

2 2 2 2 ac a c a c bd b d b d + ⇒ = = = + 0,25

Vậy

2 2

2 2 ac a c bd b d + = + 0,25

2) 1 2 3 4 x x x x + + + + + = (1)

Vì 1 2 3 0 4 0 0 x x x x x + + + + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ 0,25

nên

1 1

2 2

3 3

x x

x x

x x

+ = +

+ = +

+ = +

0,25

Do đó từ (1) ta có: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x 0,25

Tìm được x = 6 (T/M) 0,25

Câu 3 1) xy − 3x + 2y = 11

2,0đ ⇒x.(y−3)+2.(y−3)+6=11 0,25 ⇒ (x+2).(y−3)=5 0,25 x+2 - 5 - 1 1 5 x - 7 - 3 -1 3 y−3 - 1 - 5 5 1 y 2 - 2 8 4

0,25 Vậy cặp (x,y) là (-7;2); (-3;-2); (-1;8); (3;4) 0,25 2) Ta chứng minh ( ) 1 ( 1) 24 p p − + 

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên 3 p / và 2 p / Có 2 p / nên 1 p − và 1 p + là hai số chẵn liên tiếp

→( 1).( 1) 8 p p − +  (1)

0,25

Mặt khác: 3 p / → p có thể có 1 trong 2 dạng là 3 1 p k = + hoặc

3 2 p k = + ( * k ∈) Nếu 3 1 p k = + → 1 3 p −→( ) 1 ( 1) 3 p p − + 

Nếu 3 2 p k = + → 1 3 p + →( ) 1 ( 1) 3 p p − + 

⇒( ) 1 ( 1) 3 p p − +  (2)

0,25

Mà 24 3.8 = và ƯCLN(8,3) 1 = (3) 0,25

Từ (1), (2) và (3) ⇒( ) 1 ( 1) 24 p p − +  (đpcm) 0,25

Câu 4

3,0đ

Vẽ hình đúng đến phần 1) được 0,25 0,25

1) C/m ( . . ) AMB AMC c c c ∆ = ∆ (1) 0,5

C/m AM BC ⊥ 0,25

C/m AM ⊥ xy 0,25

2) Từ (1)   

2 BAC BAM CAM ⇒ = =

mà  0 90 BAC < (gt)  0 45 BAM ⇒ < suy ra  0 45 ABM >

   AMB ABM BAM ⇒ > >

0,25

0,25 0,25

AB AM BM ⇒ > > (qh giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 0,25

I

y x

O

M C B

A