Đề Olympic Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Quốc Oai - Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI

ĐỀ OLYMPIC TOÁN 7

Năm học 2022 - 2023 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên: ……………….....................………..……..…SBD:.............…

Câu 1 (4 điểm)

1/ Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 2 1 2 2 64 25 A 0,75 : : . 6. 3 16 15 5 25 144

  − −     = − + +              

2/ Cho ( ) 2 2x y x y 3 − = + . Tính

2 2

2 2 x 5 C y 4 + = +

Câu 2 (5 điểm)

1/ Tìm x biết: a/ ( ) ( ) ( ) 0,4x 2 1,5x 1 4x 0,8 3,6 − − + −− − =

b/ 2 2 x 2x 1 x 2023 + − = +

2/ Tìm x; y; z biết: (x y):(y z):(z x) 6:7:8 + + + = và x y z 42 + + =

Câu 3 (3 điểm)

1/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10p 1 + cũng là số nguyên tố.

Chứng minh rằng 5p 1 + chia hết cho 6

2/ Tìm số abcde sao cho abcde 2.ab.cde =

Câu 4 (6 điểm)

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của  HAB cắt BC tại D. Kẻ DK ⊥ AB (K ∈ AB). Chứng minh: a/ AH = AK b/ ∆ACD cân c/ AB + AC < BC + AH Câu 5 (2 điểm)

Cho ∆ABC có  0 A 75 = . Điểm D trên cạnh BC sao cho các tam giác ABD và

ACD là các tam giác cân. Tính số đo của  B, C

Thí sinh không được dùng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi không giải thích gì thêm.

(Đề gồm có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC

Năm học 2022 - 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7

Câu Phần Nội dung Điểm

1 (4đ)

1a (2đ)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)

2 2 1 2 2 64 25 A 0,75 : : . 6. 3 16 15 5 25 144

  − −     = − + +              

2 3 1 2 25 8 5 A : . . 6. 3 4 4 15 4 5 12 −     = − + +        

1 4 5 A .4 12 3 2 − − = + +

1 4 5 A 3 3 2 − − = + +

10 15 A 6 − + = = 5 6

1đ 0,5 0,5

2 (2đ) Cho ( ) 2 2x y x y 3 − = + . Tính

2 2

2 2 x 5 C y 4 + = +

Ta có: ( ) 2 2x y x y 3 − = + ⇒ 2 2 2x x y y 3 3 − = + ⇒ 4x 5y =

⇒ x 5 y 4 = ⇒

2 2

2 2 x 5 y 4 =

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 x 5 x 5 y 4 y 4 + = = + ⇒

2 2

2 2 x 5 C y 4 + = + = 25 16

0,5 0,5 1

2 (5đ)

1a (1.5đ)

1) Tìm x biết: a) ( ) ( ) ( ) 0,4x 2 1,5x 1 4x 0,8 3,6 − − + −− − =

0,4x 2 1,5x 1 4x 0,8 3,6 − − −+ + = ( ) x 0,4 1,5 4 3,6 2 1 0,8 − + = + + −

2,9x 5,8 = ⇒ x = 2

0,5 0.5 0,5

1b (1,5đ)

b) 2 2 x 2x 1 x 2023 + − = +

Ta có 2 x 0 ≥ ; 2x 1 0 − ≥ ⇒ 2 x 2x 1 0 + − ≥ với mọi x

⇒ 2 2 x 2x 1 x 2x 1 + − = + −

0,25

Do đó 2 2 x 2x 1 x 2023 + − = +

2 2 x 2x 1 x 2023 + − = +

2x 1 2023 − =

2x 1 2023 −= hoặc 2x 1 2023 −= − x = 1012 hoặc x = - 1011

0,5 0,5

2 (2đ) Tìm x; y; z biết: (x y):(y z):(z x) 6:7:8 + + + = và

x y z 42 + + =

Ta có: (x y):(y z):(z x) 6:7:8 + + + =

⇒ x y y z z x 6 7 8 + + + = =

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y y z z x 2(x y z) 84 4 6 7 8 21 21 + + + + + = = = = = ⇒

x y 4 x y 24 6 + = ⇒ + = mà x y z 42 + + = ⇒ z 42 24 18 = − =

y z 4 y z 28 7 + = ⇒ + = mà x y z 42 + + = ⇒ x 42 28 14 = − =

z x 4 z x 32 8 + = ⇒ + = mà x y z 42 + + = ⇒ y 42 32 10 = = =

Vậy: (x, y, z) = (14, 10, 18)

0,25 0,5 0.25 0.25 0,25

0.5

3 (4đ)

1 (1.5đ)

1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10p 1 + cũng là

số nguyên tố. Chứng minh rằng 5p 1 + chia hết cho 6

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ ⇒ 5p là số lẻ ⇒ 5p + 1 là số chẵn ⇒ 5p + 1 ⁝ 2 (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp: 10p; 10p + 1; 10p + 2 luôn tồn tại một số chia hết cho 3 Mà 10p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ 10p + 1  3

p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ p  3 và UCLN(10; 3) = 1

⇒ 10p  3

Do đó 10p + 2 ⁝ 3 ⇒ ( ) 2 5p 1 + ⁝ 3 mà UCLN(2; 3) = 1

⇒ 5p + 1 ⁝ 3 (2) Từ (1) và (2) kết hợp với UCLN(2; 3) = 1 nên 5p + 1 ⁝ 6

0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25

2 (1.5đ)

2/ Tìm số abcde sao cho abcde 2.ab.cde =

Ta có: