Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NINH GIANG

Ngày thi: 25 tháng 03 năm 2023

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022-2023

Môn thi: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1(2 điểm)

1) So sánh: 2712 và 819

2) Tính nhanh: 1 1 1 1 1 7.10 ....... 1.4 4.7 2017.2020 2020.2023 S = + + + + +

3) Rút gọn: A = 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 22022 Câu 2 (2 điểm)

1) Tìm x, y biết: 2 1 3 2 2 3 1 5 7 6 x y x y x + − + − = =

2) Cho

2 3 2020 A 1 3 3 3 ... 3 = −− − − − − . Tìm các số tự nhiên x để 1-2A= 91010.

x 2 3 −

3) Tìm x biết: 1 2 2020 4 x x x x + + + + + =

Câu 3 (2 điểm)

1) Cho x, y là các số nguyên thoả mãn 2 1 1 −+ = x y và < y x .

Tính giá trị biểu thức ( ) 2022 P 3x 4y 5 = + −

2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x – y + 2xy = 7

3) Cho x, y ∈ * N và p là số nguyên tố thoả mãn: x2 + xy = 2x + 2y + p2

Chứng minh rằng: y = p2 - 3

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có Â = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D và tia phân giác của góc C cắt AB tại E; BD và CE cắt nhau tại I.

a) Tính số đo góc BIC

b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng ming rằng: FI = DI

c) Trên tia IF lấy điểm K sao cho IK = IB. Vẽ tam giác BCH đều (H và A khác phía với đường thẳng BC). Chứng minh 3 điểm I, K, H thẳng hàng.

Câu 5 (1 điểm)

Cho 1 1 1 1 ... 1.2 3.4 5.6 2021.2022 A = + + + + và 1010 1009 1008 2 1 1011 ... 1012 1013 1014 2020 2021 B = + + + + + +

Chứng minh rằng: B A là số nguyên

----------------------------Hết---------------------

Họ và tên học sinh: ……………………………………………. Số báo danh………

Giám thị 1: ………………………………………………………………………….

Giám thị 2: ………………………………………………………………………….

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm 1 2đ

1) 2712 = (33)12 = 336

819 = (34)9 = 336 => 2712 = 819

0.25đ 0.25đ

2) 3.S = 3 3 3 3 ....... 1.4 4.7 7.10 2020.2023 + + + +

= 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 4 4 7 7 10 2020 2023 − + − + − + + −

= 1 1 1 2023 −

S = 2022 674 :3 2023 2023 =

0.25đ 0.25đ 0.25đ 3) Rút gọn: A = 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 22022 Ta có: 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 22023 2A - A = 2 + 22 + 23 + ...+ 22023 - 1 - 2 - 22 - 23 - ...- 22022

 A = 22023 - 1

0.25đ 0.25đ 0.25đ 2 2đ

1) 2 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 7 5 7 12 6 x y x y x y x y x + − + − + − + − = = => = +

+) Nếu: 2 1 3 2 1 2 2 3 1 0 0 ; 5 7 2 3 x y x y x y + − − + −= ⇒ = = ⇒ = =

+) Nếu: 2 1 3 2 2 3 1 0 6 12 2 3 5 7 x y x y x x y + − + −≠ ⇒ = ⇒ = => = => =

Vậy (x;y) ( ) 1 2 ( ; ); 2;3 2 3  −  ∈   

0.25đ 0.25đ 0.25đ

2)

2 3 2021 3A 3 3 3 ... 3 = −− − − −

2 3 2021 2 3 2020 2021 3A A 3 3 3 ... 3 1 3 3 3 ... 3 3 1 − = −− − − − + + + + + + = − + =>

2021 2021 2A 3 1 1 2A 3 = − + ⇒− = Mà 1-2A= 91010.

x 2 3 − 2021 2020 x 2 2021 x 2018 3 3 .3 3 3 x 3 − + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

0.5đ 0.25đ 3) vì 1 2 2020 0 4 0 0 1 0; 2 0; 2020 0 x x x x x x x x + + + + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ + > + > + >

=> 1 2 2020 1 2 2020 x x x x x x + + + + + = + + + + +

=> 1 2 2020 4 3 2023 4 2023 x x x x x x x + + + + + = ⇒ + = => =

0.25đ 0.25đ

1) Từ đề bài suy ra { } 2y 1 y 1;0;1 ≤⇒ ∈−

• y 1 x 1 0 x 1 = ± ⇒ − = ⇒ = (loại)

• x 2 y 0 x 1 1 x 0 (L)

=  = ⇒ − = ⇒ = 

Khi đó ( ) 2023 P 3.2 4.0 5 1 = + − =

0.25 0.25