Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề bài gồm: 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Thực hiện phép tính

a) ( ) 1 3 0,6 75% : 1 5 4   − −    

b)

5 7

5 7 8 .25 125 .4

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Tìm x, biết 11 5 15 11 x = 13 42 28 13     − − − −        

2) Chứng tỏ phân số có dạng n 4 3n 11 −

− là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Tìm x, y, z biết 5x = 6y; 3y = 2z và 5x – 7y + 9z = 250 2) Cho đa thức A(x) = x4 – 123x3 + 123x2 – 123x + 125. Tính A(122) ?

3) Cho 2 đa thức P = 5x4 + 3x2 +4x3 − 3

4 x −7x4 − 1

4 x + 3

Q = 1

2 x3 – 2x4 + 4x2 + x + 7

2 x3

Tìm đa thức H, biết P – H = Q – (x2 + 3x – 7) Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Kẻ BE⊥AC tại E, CF⊥AB tại F, BE cắt CF tại H. Kẻ HQ//AC, HP//AB (QAB, PAC).

a) Chứng minh rằng: AHQ = HAP b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MEF cân và 𝐴𝐸𝐹 ̂ = 𝐴𝐵𝐶 ̂.

c) Chứng minh rằng: HA + HB + HC < 2

3 (AB + AC + BC)

2) Một trường THCS làm bể tập bơi cho học sinh có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 15m, chiều rộng 10m, chiều sâu 1,2m. Người ta lát gạch men các mặt xung quanh và đáy của bể (Coi mạch ghép giữa các viên gạch men không đáng kể).

a) Tính diện tích gạch men cần dùng để lát bể bơi đó? b) Cần phải bơm bao nhiêu mét khối nước vào bể để mực nước trong bể thấp hơn mép trên của bể là 20cm (Ban đầu bể không có nước) ?

Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh 2 3 4 2023 1 2 3 4 2023 S ... 4 4 4 4 4 = + + + + + < 1

2

------------------ Hết ------------------ Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) Chú ý: - Phần nào HS làm theo cách khác mà đúng chuẩn KT – KN thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó. - GV chấm có thể chia nhỏ biểu điểm cho phù hợp (nếu cần), nhưng phải thống nhất trong nhóm chấm.

Câu Ý Đáp án Điểm 1

a)

( ) 1 3 0,6 75% : 1 5 4   − −    

= 3 3 1 7 : 5 4 5 4    − −      

0,25

= 12 15 4 35 : 20 20 20 20    − −      

0,25

= 3 31 : 20 20 − − 0,25

= 3

31 0,25

b)

5 7

5 7 8 .25 125 .4 = ( ) ( ) ( ) ( )

5 7 3 2

5 7 3 2 2 . 5

5 . 2

0,50

=

15 14

15 14 2 .5 5 .2 0,25

= 2

5 0,25

2 1)

11 5 15 11 - - x = - - 13 42 28 13            

11 5 15 11 - + x=- + 13 42 28 13

0,25

15 5 x = - + 28 42 0,25

5 x = -12 0,25

Vậy

5 x = -12 . 0,25

2) Gọi ước chung của n – 4 và 3n – 11 là d 0,25

n 4 d

3n 11 d

−   − 

3n 12 d 3n 11 d −   − 

0,25

Do đó (3n – 12) – (3n – 11) = -1 d d 1  =  0,25

Vậy phân số có dạng n 4 3n 11 −

− là phân số tối giản với mọi số

nguyên n.

0,25

3 1) Ta có 3y = 2z nên 6y = 4z Mà 5x = 6y suy ra 5x = 6y = 4z 0,25

5x 6y 4z x y z 60 60 60 12 10 15 = = = = = 0,25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

x y z 5x 7y 9z 250 2 12 10 15 5.12 7.10 9.15 125 − + = = = = = − + 0,25

Suy ra x = 24; y = 20; z = 30 0,25 2) Khi x = 122 thì ta có 123 = x +1 Do đó A(x) = x4 – (x +1).x3 + (x +1).x2 – (x +1).x + 125 0,25

= x4 – x4 - x3 + x3 + x2 – x2 - x + 125 = - x + 125 Suy ra A(122) = - 122 + 125 = 3

0,25

3) Vì P – H = Q – (x2 + 3x – 7) Nên H = P – [Q – (x2 + 3x – 7)] = P – Q + (x2 + 3x – 7)

0,25

Ta có P - Q = (5x4 + 3x2 +4x3 - 3

4 x -7x4 - 1

4 x + 3)- ( 1

2 x3 – 2x4 +

4x2 + x + 7

2 x3 )

= 5x4 + 3x2 +4x3 - 3

4 x -7x4 - 1

4 x + 3 - 1

2 x3 + 2x4 - 4x2 - x - 7

2 x3

= - x2 - 2x + 3 Suy ra H = - x2 - 2x + 3 + x2 + 3x – 7 = x – 4 Vậy H = x – 4

0,25

4 1) Học sinh vẽ hình đúng theo dữ kiện chung của đề bài

0,25

Q

P

H

F

E

A

B

C