Đề thi thử HSG lần 2 Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Hiệp Hòa - Bắc Giang

UBND HUYỆN HIỆP HÒA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LẦN 2

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm):

1) Thực hiện phép tính:

2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

        − − − + − −                  

2) Rút gọn biểu thức:

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 A − − = − +

3) Tìm x biết: ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − +

Câu 2 (4,0 điểm):

1) Cho , , a b c là ba số khác 0 thỏa mãn 2 b ac = . Chứng minh rằng

2 2

2 2 a b a b c c + = + .

2) Cho 2 1 1 1 ..... 4 9 1000 A = + + + . Chứng minh rằng A < 25. 36

Câu 3 (4,0 điểm):

1) Tìm số nguyên a để 2 3 a a + + chia hết cho 1 a + .

2) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn 2 2 2 1 x y − = .

Câu 4 (6,0 điểm):

1) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy

điểm E sao cho ME MA = .

a) Chứng minh / / AC BE .

b) Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng AC, K là một điểm trên đoạn thẳng EB sao cho

AI EK = . Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.

2) Cho tam giác ABC cân tại A có  0 20 BAC = . Vẽ tam giác đều BCD sao cho điểm D

nằm trong tam giác ABC. Tia phân giác của  ABD cắt AC tại M. Chứng minh AM BC = .

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho xyz =1. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 x y z A xy x yz y xz z = + + + + + + + + .

...............Đề gồm 01 trang...............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2022-2023

Môn thi: Toán 7

Câu Nội dung Điểm Câu 1 (5,0 điểm) 1)

2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

        − − − + − −                  

1 1 3 6. 1 1 : 9 3 3

2 4 2 : 3 3

2 6 4 : 3 3 3 8 3 . 2 3 4

   = + + − −       

   = + −       

   = + −        − = = −

0,5 0,5 0,5 0,5

2)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 A − − = − +

( ) ( ) ( )

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 9 3 9 3 3

12 4 10 3

12 6 9 3 3

2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 .3 5 .7 1 2

− − = − + − − = − +

( )

( )

10 3 12 4

12 6 9 3

2

5 .7 6 2 .3 .2 2 .3 5 .7 .9 5. 6 2 2 30 32 3 9 9 9 9

− = −

− − = − = − =

0,5 0,5 0,5

3) ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − +

1 4 16 2 3 5 5 5

1 4 14 3 5 5

x

x

⇒ − + = − +

⇒ − + = −

1 4 14 3 5 5 x ⇒ − + =

1 14 4 3 5 5 x ⇒ − = − 1 2 3 x ⇒ − =

1 2 3 x ⇒ − = hoặc 1 2 3 x − = −

1 2 3 x ⇒ = + hoặc 1 2 3 x = −+

7 3 x ⇒ = hoặc 5 3 x = −

Vậy 7 5 ; 3 3 x   ∈ −    

0,5 0,5 0,5

Câu 2 (4,0 điểm) 1) Ta có ( )

2 2 2 . . 1 a b a a a b a a b ac b c b b b c b c = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Mặt khác, từ

2 2 2 2

2 2 a b a b a b b c b c b c     = ⇒ = ⇒ =        

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 a b a b b c b c + = = +

Từ (1) và (2) suy ra

2 2

2 2 a b a b c c + = + (đpcm)

0,5 0,5 0,5 0,5

1 1 1 1 1 ..... 4 9 3.4 4.5 999.1000 1 1 1 1 4 9 3 1000 25 1 25 36 1000 36

< + + + + +

< + + −

< − <

A

A

A

Vậy A< 25 36

0,5 0,5 0,75 0,25

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Ta có : 2 3 a a + + chia hết cho 1 a + ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 a a a ⇒ + + +    

Vì a là số nguyên nên ( ) ( ) ( ) 1 1 2 a a a + + 

Từ (1) và (2) suy ra ( ) 3 1 a +  hay 1 a + là các ước của 3

Do đó { } { } 1 3; 1;1;3 4; 2;0;2 a a + ∈− − ⇒ ∈− −

Vậy { } 4; 2;0;2 a∈− − là các giá trị nguyên cần tìm.

0,5 0,5 0,5 0,5 2) Từ 2 2 2 1 x y − = suy ra ( ) 2 2 1 2 1 x y −= + Nếu x chia hết cho 3 mà x là số nguyên tố nên 3 x = Thay 3 x = vào (1) ta được:

2 2 2 8 4 2 y y y = ⇒ = ⇒ = (vì y là số nguyên tố) + Nếu x không chia hết cho 3 thì 2x chia cho 3 dư 1 nên 2 1 x − chia hết cho 3. Do đó từ (1) suy ra 2 2y chia hết cho 3 Mà ( ) 2;3 1 = nên 2 3 3 3 y y y ⇒ ⇒ =   (vì y là số nguyên tố)

Thay 3 y = vào (1) ta được 2 2 1 18 19 x x x Z −= ⇒ = ⇒ ∉ (loại) Vậy có duy nhất cặp số nguyên tố ( ) ,x y thỏa mãn đề bài là ( ) 3;2 .

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 4 (6,0 điểm)

M

K

I

E

C B

A