Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Cẩm Thủy - Thanh Hoá

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN CẨM THỦY

-----***-----

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : ..../..../2023

(Đề thi có 01trang, gồm 05 bài)

Bài 1: (4,0 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức:

2. Cho tỉ lệ thức a c b d = với 0, 0, 0, 0, , a b c d a b c d ≠ ≠ ≠ ≠ ≠± ≠± . Chứng minh:

2013 2013 2013

2013 2013 a b a b c d c d − +   =   − +  

3. Tìm đa thức M biết rằng: ( ) 2 2 2 5 2 6 9 M x xy x xy y + − = + − . Tính giá trị của M khi x, y

thỏa mãn: ( ) ( ) 2018 2020 2 5 3 4 0 x y − + + ≤. Bài 2: (4,0 điểm)

1. Tìm x, biết: 1 2 3 100 x x x ... x 101x 101 101 101 101 + + + + + + + + =

2. Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phương

của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

3. Biết ( ) f x

chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2)

được thương là 3x và còn dư. Tìm ( ) f x . Bài 3: (4,0 điểm)

1. Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225

2. Cho a,b,c,d Z ∈ thỏa mãn ( ) 3 3 3 3 2 8d a b c + = − .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3

Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE.

b) Chứng minh rằng: = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng ∆AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ a b c . Chứng minh rằng:

2 1 1 1 + + + + ≤ + a b c bc ac ab

----------------- HẾT ----------------

Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ....................

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − − + +

 DIB

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN CẨM THỦY

-----***-----

ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2022- 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : ..../..../2023

(Đáp án gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm

Bài 1 (4 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức: A =

=

0,5

=

=

0,5

Vậy 7 A 2 =

0,5

2. Cho tỉ lệ thức a c b d = với 0, 0, 0, 0, , a b c d a b c d ≠ ≠ ≠ ≠ ≠± ≠± . Chứng

minh:

2013 2013 2013

2013 2013 a b a b c d c d − +   =   − +  

Ta có:

2013 2013 2013 a c a c a c a c b d b d b d b d − −       = = ⇒ = =       − −       (1)

0,5

Mà:

2013 2013 2013 2013 2013 2013

2013 2013 2013 2013 a c a c a c b d b d b d +     = = = =     +     (2) 0,5

Từ (1) và (2)

2013 2013 2013

2013 2013 a b a b c d c d − +   ⇒ =   − +   (đpcm) 0,5

3. Tìm đa thức M biết rằng: ( ) 2 2 2 5 2 6 9 M x xy x xy y + − = + − . Tính giá trị

của M khi x, y thỏa mãn: ( ) ( ) 2018 2020 2 5 3 4 0 x y − + + ≤

Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 2 6 9 6 9 5 2 M x xy x xy y M x xy y x xy + − = + − ⇒ = + − − −

⇒

2 2 2 2 2 6 9 5 2 11 M x xy y x xy x xy y = + − − + = + −

Lại có: ( )

( ) ( ) ( )

2018 2018 2020

2020 2 5 0 2 5 3 4 0 3 4 0

x x y y

 − ≥  => − + + ≥  + ≥ 

0,5

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − − + +

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − − + +

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − − + + ( ) ( )

( ) ( )

12 4 10 3

12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 .3 3 1 5 .7 1 8 − − − + +

( ) 10 3 12 4

12 5 9 3 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9

− −

1 10 7 6 3 2 − = − =