Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2017 - 2018 phòng GDĐT Vĩnh Bảo - Hải Phòng

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tính M =

2 2 1 1 0,4 0,25 2017 9 11 3 5 : . 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

                  

b) Tìm x, biết: 2017 x 2018 x 2019 x 2       . Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:

a b c b c a c a b c a b        

Hãy tính giá trị của biểu thức: b a c B 1 1 1 . a c b                

b) Cho hai đa thức: f(x) (x 1)(x 3)    và

3 2 g(x) x ax bx 3     Xác định hệ số a;bcủa đa thức g(x)biết nghiệm của đa thức f(x)cũng là nghiệm của đa thức g(x).

c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x y z xyz    . Câu 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.

a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK. Câu 4 (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC,  0 B=60 ). Hai tia phân giác AD (D BC  ) và CE (E AB  ) của ABC cắt nhau ở I. Chứng minh  IDE cân. Câu 5 (1,0 điểm)

Cho

2 2 2 2

n 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 S ... 1 2 3 n          ( với n N  và n >1)

Chứng minh rằng n S không là số nguyên.

----- Hết -----

Giám thị số 01 ( Kí, ghi rõ họ và tên)

Giám thị số 02 ( Kí, ghi rõ họ và tên)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐÁP ÁN: MÔN TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

a) Ta có:

2 2 1 1 0,4 0,25 2017 9 11 3 5 M : 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

                   

2 2 2 1 1 1

2017 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2018 5 9 11 6 8 10

                   

1 1 1 1 1 1 2 2017 5 9 11 3 4 5 : 1 1 1 7 1 1 1 2018 7 5 9 11 2 3 4 5

                                             

2 2 2017 : 0 7 7 2018         

0.25

0.5 0.25

b) Có 2018 x 0   và 2017 x 2019 x x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2        => 2017 x 2018 x 2019 x 2       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2017)(2019 – x) ≥ 0 và 2018 x  = 0 , suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 và x = 2018 x 2018   Vậy x = 2018.

0,25 0,25 0,25

0,25

Câu 2

a) Vì a, b,c là các số dương nên a b c 0    Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c                   

a b c b c a c a b 1 1 1 2 c a b          

a b b c c a 2 c a b       

Mà: b a c B 1 1 1 a c b                

a b c a b c B 8 a c b                  

Vậy: B 8 

0,25 0,25 0,25 0,25

b) HS biết tìm nghiệm của f(x) (x 1)(x 3)    = 0 x 1; x 3    Nghiệm của f(x) cũng là nghiệm của

3 2 g(x) x ax bx 3     nên:

0,25

Thay x 1  vào g(x) ta có: 1 a b 3 0     Thay x 3  vào g(x) ta có: 27 9a 3b 3 0      Từ đó HS biến đổi và tính được: a 3; b 1  

0,25 0,5

c) Vì x,y,z Z

  nên giả sử 1 x y z   

Theo bài ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 yz yx zx x x x x       

Suy ra:

2 x 3 x 1    Thay vào đầu bài ta có:

     

1 y z yz y yz 1 z 0

y 1 z 1 z 2 0

y 1 z 1 2

      

     

   

TH1: y 1 1 y 2

z 1 2 z 3

          

TH2: y 1 2 y 3 z 1 1 z 2           

(loại)

Vậy (x; y; z) = (1;2;3) và các hoán vị https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

I B

C

A

H

M

E F D

K

Q

P

a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi MD + ME không đổi (đpcm)

0,25 0,25 0,25 0,25 c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của …