Đề cuối học kì 2 Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Cẩm Giàng - Hải Dương

Câu 1 (3,0 điểm)

1) Cho a > b. So sánh 3a và 3b, a - 5 và b - 5.

2) Giải các phương trình sau:

a) 7 4 + = x b) 3 1 5 x x − − =

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

x 3 3x 2 1 2 4 3 − + − < ⋅

2) Tìm giá trị x nguyên lớn nhất để giá trị của biểu thức (x 2)(x 3) − + không lớn hơn giá trị của biểu thức 2 (x 4) 25 − − .

Câu 3 (1,5 điểm)

Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết thời gian 1 giờ 30 phút và ngược

dòng từ B về A hết 2 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc

dòng nước là 2 km/h.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có BD là tia phân giác của

góc ABC (D thuộc AC), kẻ CK vuông góc với BD tại K.

a) Chứng minh DAB DKC ∆ ∆ ∽

b) Chứng minh: AB.KC AD.KB =

c) Gọi Q là trung điểm của BC. Chứng minh BD.BK + CD.CA = 4CQ2.

Câu 5 (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

2 1 2 1 + + = + + x x P x x

với 1 ≠− x .

----- Hết -----

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II

NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút (Đề gồm có: 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II

NĂM HỌC: 2022-2023

MÔN: TOÁN 8 Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang

Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 (3,0 đ)

1

Vì a> b nên 3a > 3b, 0,5

Vì a> b nên a - 5 > b - 5 0,5

2a 1,0

7 4 3 7 4 7 4 11 + = = −   + = ⇔ ⇔   + = − = −  

x x x x x 0,75

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { } 3; 11 S = − − 0,25

2b 0,75

3 1 5 x x − − = (1)

Xét 1 3 1 0 3 x x    . Khi đó, phương trình (1) trở thành:

3 1 5 2 6 3 x x x x −− = ⇔ = ⇔ = (TM)

Xét 1 3 1 0 3 x x    . Khi đó, phương trình (1) trở thành:

3 1 5 4 4 1 x x x x − + − = ⇔− = ⇔ = −(TM)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { } 3; 1 S = − .

0,25

0,25

0,25

Câu 2

(2,5đ)

1

(1,0đ)

Ta có: x 3 3x 2 1 6(x 3) 3(3x 2) 4 2 4 3 12 12 12 − + − + − < ⇔ − < 0,25

6x 18 9x 6 4 3x 28 ⇔ − − − < ⇔− < 0,25

28 x 3 ⇔ > −

Vậy bpt đã cho có nghiệm 28 x 3 > −

0,25

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số đúng 0,25

2 (1,0đ)

Theo đề bài ta có: ( ) 2 ( 2) 3 ( 4) 25 − + ≤ − − x x x 0,25

2 2 6 8 16 25 ⇔ + − ≤ − + − x x x x

1 9 16 25 6 9 3 3 ⇔ ≤ − + ⇔ ≤−⇔ ≤− x x x

0,5

Vậy giá trị x nguyên lớn nhất cần tìm là x = -1. 0,25

Câu 3

(1,5)

Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2) 0,25

Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là: x + 2 (km/h)

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là: x - 2 (km/h) 0,25

Đổi 1 giờ 30 phút = 3 h 2 ;

Quãng đường ca nô đi xuôi là: 1,5( 2) + x (km)

Quãng đường ca nô đi ngược là: 2( 2) − x (km)

0,25

Theo bài ta có phương trình: 2( 2) − x =1,5( 2) + x 0,25

Giải ra ta được: x = 14 (TM)

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là: 14 km/h

0,5

Câu 4 (3,0đ)

a

E

Vẽ hình đúng đến câu a

0,25

a 0,75đ

ABC ∆ vuông tại A AC AB ⇒ ⊥

Xét DAB ∆ và DKC ∆ , có:

0,25

  0 DAB CKD 90 = = (AC AB,CK BD ⊥ ⊥ )

  ADB CDK = (hai góc đối đỉnh)

⇒ DAB DKC ∆ ∆ ∽ (g.g)

0,25

0,25

b 1,0đ

Xét ABD ∆ và KBC ∆ , có

  ( ) 0 DAB CKB 90 AC AB,CK BD = = ⊥ ⊥

  ABD CBK = (BD là tia phân giác của góc ABC)

( ) ABD KBC g.g ∆ ∆ ∽

AB AD KB KC ⇒ = (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AB.KC BK.AD = .

0,25

0,25

0,25

0,25

c 1,0đ

Kẻ DE vuông góc BC

Chứng minh được: BD.BK = BE.BC

CD.CA=CE.CB

Cộng hai đẳng thức và thu gọn ta được:

BD.BK + CD.CA = 4CQ2

0,5

0,25

0,25

Câu 5 (0,5đ)

0,5đ

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 1

x x x x x x P x x x x x

+ − + + + − = = = − = − + + + + +

( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 4 1 4 1 1 P x x x x

  = − + = − + +   + + + +    

0,25

2 1 1 3 3 , 1 2 1 4 4   = − + ≥ ∀≠−   +   P x x

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 3 4 khi 1 1 0 1 2 1 x x − = ⇔ = + (thỏa

mãn)

0,25

*Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.