Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Hoằng Hóa - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2023 – 2024

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: P = ቈ(x −1)2

x2 + x + 1 −1 −2x2 + 4x x3 −1 + 1 x −1቉: x2 + x x3 + x , với x ≠ 0, ± 1.

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Tìm giá trị của x để P = 1.

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Cho a + b + c = 0 và abc ≠ 0. Chứng minh: 1

b2 + c2 −a2 + 1

a2 + c2 −b2 + 1

a2 + b2 −c2 = 0.

2. Cho đa thức: f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c. Xác định hệ số a; b; c biết f(x) chia hết cho x – 2 và f(x) chia cho x2 – 1 dư 2x.

3. Bác Hoàng gửi vào ngân hàng 500 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất 5,5% mỗi năm (tức là nếu đến hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn kì kế tiếp). Tính số tiền bác Hoàng nhận được sau 3 năm là (cả gốc và lãi).

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x; y thõa mãn: 2x2 + 4x + 2 = 3(7 −y2).

2. Tìm tất cả số nguyên tố p; q; r thõa mãn: (p2 + 1)(q2 + 1) = r2 + 1.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ (không trùng với A, B). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MC.

1. Chứng minh: BH2 = HM.HC.

2. Đường thẳng qua D vuông góc với DM cắt đường thẳng BC tại K; đường thẳng qua D vuông góc với MK cắt BC tại E. Chứng minh: ∆KDM vuông cân và ∆DKE đồng dạng với ∆BKD.

3. Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh rằng: khi điểm M di chuyển trên cạnh AB thì góc DHN luôn có số đo không đổi.

Câu 5. (2,0 điểm) 2. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng: x 3(y + z −x) + y 3(x + z −y) + z 3(x + y −z) ≥ 1

--------------------HẾT--------------------

Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ………………………………….

Giám thị số 1: …………………………………. Giám thị số 2: ………………………………….

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1. Đường quốc lộ và đường ống dẫn dầu cắt nhau tạo thành một góc nhỏ hơn 45o, trong góc này có bãi đỗ xe ô tô ở vị trí A (hình vẽ). Cần phải xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe A đến cây xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.

.A

Đường quốc lộ

Đường ống dẫn dầu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Câu Đáp án Điểm 1 (4,0đ)

1 (3,0đ)

Với x ≠ 0, ± 1 ta có:

P = ቈ(x −1)2

x2 + x + 1 −1 −2x2 + 4x x3 −1 + 1 x −1቉: x2 + x x3 + x

P = ቈ (x −1)3

(x2+x+1)(x −1) − 1 −2x2 + 4x (x2+x+1)(x −1) + x2 + x + 1 (x2+x+1)(x −1)቉: x(x + 1) x(x2 + 1)

P = x3 −3x2 + 3x −1 −1 + 2x2 −4x + x2 + x + 1 (x2 + x + 1)(x −1) : x + 1 x2 + 1

P = x3 −1

(x2 + x + 1)(x −1)

. x2 + 1 x + 1 = x2 + 1 x + 1

Vậy P = x2 + 1 x + 1 với x ≠ 0, ± 1

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

2 (1,0đ)

Để P = x2 + 1

x + 1 = 1 thì x2 + 1 = x + 1

⇒ x2 −x = 0 ⇒ x(x – 1) = 0

⇒൤ x = 0 x −1= 0 ⇒൤x = 0 x = 1

Vì ĐKXĐ là x ≠ 0, ± 1 nên x = 0; x = 1 không thõa mãn

Vậy không tồn tại x để P = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

2 (4,0đ)

1 (2,0đ)

Ta có: 1

b2 + c2 −a2 + 1

a2 + c2 −b2 + 1

a2 + b2 −c2

= 1 (b + c)2 −2bc −a2 + 1

(a + c)2 −2ac −b2 + 1 (a + b)2 −2ab −c2

= 1 (a+b+c)(b + c-a)– 2bc + 1 (a+b+c)(a-b+c)– 2ac + 1 (a+b+c)(a+b-c)– 2ab

= 1 −2bc + 1 −2ac + 1 −2ab = −1 2 . a + b + c abc = 0 (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

2 (1,0đ)

Gọi thương của f(x) cho x – 2 là P(x) mà f(x) chia hết cho x – 2 nên f(2) = 2x4 + ax2 + bx + c = (x – 2).P(2) = 0 ⇒ 32 + 4a + 2b + c = 0 (1) Gọi thương của f(x) cho x2 – 1 là Q(x) mà f(x) chia x2 – 1 dư 2x nên f(1) = 2x4 + ax2 + bx + c = (x – 1)(x + 1).Q(1) = 2 và f(–1) = 2x4 + ax2 + bx + c = (x – 1)(x + 1).Q(–1) = – 2 ⇒ 2 + a + b + c = 2 (2) và 2 + a – b + c = – 2 (3) Lấy (2) + (3) ta được 4 + 2a + 2c = 0 ⇒ a + c = – 2 Thay a + c = – 2 vào (2) ta được b = 2

Lấy (1) – (2) ta được 30 + 3a + b = – 2 ⇒ 3a = – 34 ⇒ a = −34 3 ⇒c = 28 3

Vậy a = −34 3 ; b = 2; c = 28 3

0,25

0,25

0,25

0,25

3 (1,0đ)

Vì Bác Hoàng gửi theo thể thức lãi kép nên số tiền bác Hoàng nhận được sau 3 năm là: 500(5,5% + 1)3 = 587,1206875 (triệu đồng)

Đáp số: 587,1206875 triệu đồng

0,25

0,5 0,25