Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Bình Lục - Hà Nam

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN BÌNH LỤC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG

HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức A = ቀ 𝑥𝑥2

𝑥𝑥3−4𝑥𝑥+ 6

6−3𝑥𝑥+ 1

𝑥𝑥+2ቁ: ቀ𝑥𝑥−2 + 10−𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2 ቁ a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A tại 𝑥𝑥 thỏa mãn |𝑥𝑥+ 1| = |−1| c) Tìm giá trị nguyên của 𝑥𝑥 để biểu thức A có giá trị nguyên. Bài 2 (3,5 điểm). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥−27 b) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 +2)(3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 2)+1 2. Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 đôi một khác nhau thỏa mãn (𝑎𝑎+ 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2

Chứng minh 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2+2𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑏𝑏2

𝑏𝑏2+2𝑎𝑎𝑎𝑎+

𝑐𝑐2

𝑐𝑐2+2𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1

Bài 3 (3,0 điểm).

1. Giải phương trình 1

𝑥𝑥2−7𝑥𝑥+12 + 2

𝑥𝑥2−10𝑥𝑥+24 + 3

𝑥𝑥2−15𝑥𝑥+54 = 2

9 2. Tìm số nguyên 𝑥𝑥 để 𝑥𝑥2 −2𝑥𝑥−4 là số chính phương Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. a) Tứ giác MNKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AM2 = KC. KE c) Chứng minh chu vi tam giác MEC không đổi khi M di động trên cạnh BC. d) Gọi F là giao điểm của AM với đường thẳng DC. Chứng minh 1

AF2 + 1

AM2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Bài 5 (3,5 điểm). 1. Cho 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧> 0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧= 1. Chứng minh 1

𝑥𝑥2+2𝑦𝑦𝑦𝑦+ 1

𝑦𝑦2+2𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1

𝑧𝑧2+2𝑥𝑥𝑥𝑥≥9

2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 4 giờ thì đầy bể. Người ta mở 2 vòi chảy trong 2 giờ, sau đó tắt vòi 1 đi, vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì bể đầy. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể.

---Hết---

Giám thị 1: ……………………………. Họ và tên học sinh:……………….……….………. Giám thị 2: ……………………………. Số báo danh:………………..………………….……

2

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Rút gọn (2điểm)

A=ቀ 𝑥𝑥2

𝑥𝑥3−4𝑥𝑥+ 6

6−3𝑥𝑥+ 1

𝑥𝑥+2ቁ: ቀ𝑥𝑥−2 + 10−𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2 ቁ ( ĐKXĐ: 𝑥𝑥≠0; 𝑥𝑥≠2; 𝑥𝑥≠−2)

A= ቀ 𝑥𝑥2

𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) − 6

3(𝑥𝑥−2) + 1

𝑥𝑥+2ቁ: ቀ𝑥𝑥−2 + 10−𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2 ቁ

= ቀ 3𝑥𝑥2

3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) − 6𝑥𝑥(𝑥𝑥+2)

3𝑥𝑥(𝑥𝑥+2)(𝑥𝑥−2) + 3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)

3𝑥𝑥(𝑥𝑥+2)(𝑥𝑥−2)ቁ: ቀ (𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2)

𝑥𝑥+2 + 10−𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2 ቁ

= 3𝑥𝑥2−6𝑥𝑥2−12𝑥𝑥+3𝑥𝑥2−6𝑥𝑥

3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) : 𝑥𝑥2−4+10−𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2

= −18𝑥𝑥

3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2). 𝑥𝑥+2

6

= −1

𝑥𝑥−2

0,25 0,25 1,0 0,5

b) (1 điểm). Vì 𝑥𝑥 thỏa mãn |𝑥𝑥+ 1| = |−1|

⟺ 𝑥𝑥 =0( tmđk) hoặc 𝑥𝑥 =-2( không tmđk) Tại 𝑥𝑥 =0 ta có A = 1

2

0,5 0,5

c) (1 điểm). Để A có giá trị nguyên thì

−1

𝑥𝑥−2 có giá trị nguyên ⇒𝑥𝑥−2 ∈{1; −1} 𝑥𝑥 -2 1 -1 𝑥𝑥 3(tmđk) 1(tmđk) Vậy: 𝑥𝑥 =3; 𝑥𝑥 =1 thì biểu thức A có giá trị nguyên

0,25 0,5 0,25

2 1) Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) a) 2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥−27 = 2𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥−6𝑥𝑥−27= 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 +9)-3(2𝑥𝑥 +9) = (2𝑥𝑥 +9)(𝑥𝑥 -3)

a) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥+ 2)(3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 2)+1

= (3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥)( 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 2)+1 Đặt 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥= 𝑡𝑡. Ta có: 𝑡𝑡(𝑡𝑡+ 2) + 1 = 𝑡𝑡2 + 2𝑡𝑡+ 1=(𝑡𝑡+ 1)2= (3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥+ 1)2

0,5 0,5 0,5 0,5

2) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: (𝑎𝑎+ 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2

Chứng minh: 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2+2𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑏𝑏2

𝑏𝑏2+2𝑎𝑎𝑎𝑎+

𝑐𝑐2

𝑐𝑐2+2𝑎𝑎𝑎𝑎 =1 (1,5 điểm). Từ Gt: (𝑎𝑎+ 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 ⟹𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎+ 2𝑏𝑏𝑏𝑏+ 2𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 ⟹𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑏𝑏𝑏𝑏= 0 Nên 𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏= (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐) Tương tự ta có: 𝑏𝑏2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎= (𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐); 𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎= (𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏)

Khi đó: 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2+2𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑏𝑏2

𝑏𝑏2+2𝑎𝑎𝑎𝑎+

𝑐𝑐2

𝑐𝑐2+2𝑎𝑎𝑎𝑎

= 𝑎𝑎2

(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐) + 𝑏𝑏2

(𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐) +

𝑐𝑐2

(𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2(𝑐𝑐−𝑏𝑏)+𝑏𝑏2(𝑎𝑎−𝑐𝑐)+𝑐𝑐2(𝑏𝑏−𝑎𝑎)

(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎)

= (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎)

(𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎) = 1

0,25 0,5 0,25 0,5