Đề HSG cấp thị xã Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Mỹ Hào - Hưng Yên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ MỸ HÀO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

Năm học 2022-2023

Môn thi: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày thi: 05/4/2023

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức 2 2 9 3 2 4 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − −

a) Rút gọn biểu thức . A

b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3.

b) Cho số a thỏa mãn: 4 2 14 9 0 − + = a a . Tính giá trị biểu thức:

Q = 5 4 3 2 2 14 28 9 19 + − − + + a a a a a . Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình: 40 ) 3 ( 9

2

2 2 = + + x x x .

b) Tìm giá trị của a, b sao cho đa thức ( ) 3 2 10 4 = + + − f x ax bx x chia hết cho đa

thức ( ) 2 2 = + − g x x x

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh: CB.CD = CE. CA.

b) Cho AB = m (với m > 0). Tính độ dài đoạn BE theo m.

c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G.

Chứng minh: GB HD BC AH HC = + .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho 2 số không âm a,b thỏa mãn: 2 2 a b a b + ≤ + . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

4 5 1 1 a b S . a b   = + +   + +  

---------- Hết ---------- Họ tên thí sinh: ……………………….…………………… Số báo danh: …………………….Phòng thi số:…………

Chữ ký của cán bộ coi thi số 1

1

UBND THỊ XÃ MỸ HÀO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

NĂM HỌC 2022 – 2023. Môn thi: TOÁN 8

Thời gian làm bài: 120 phút

(Ngày thi 05/4/2023)

I. Hướng dẫn chung. 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Đối với bài hình học, nếu HS có lời giải đúng nhưng không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không được điểm. 2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong hội đồng chấm thi. 3. Không làm tròn điểm dưới mọi hình thức. II. Hướng dẫn cụ thể.

CÂU Nội dung Điểm

CÂU 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức 2 2 9 3 2 4 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − −

a) Rút gọn biểu thức . A

b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.

a) + ĐKXĐ: 2;3 x ≠ ( )( ) ( )( ) 2 9 3 3 2 4 2 (x 2)(x 3) x x x x x A −− + − + + − = − −

0,5

2 2 8 (x 2)(x 3) x x A + − = − − 0,25

( )( ) 4 2 4 (x 2)(x 3) 3 x x x A x + − + = = − − −

0,25

b) 4 7 1 3 3 x A x x + = = + − − 0,25

Với x nguyên Để A nguyên thì 7 3 x − là số nguyên

=> ( ) ( ) { } 3 7 1 7 x U ; − ∈ = ± ±

0,25

Ta có bảng sau:

x - 3 1 -1 7 -7 x 4 2 10 -4

0,25

So sánh điều kiện bài toán ta có { } 4 10 4 x ; ; ∈ − 0,25

CÂU 2 (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3.

b) Cho số a thỏa mãn: 4 2 14 9 0 − + = a a . Tính giá trị biểu thức:

Q = 5 4 3 2 2 14 28 9 19 + − − + + a a a a a .

a) Ta có: P = x2 – y2 + 2x – 4y – 3

2

= (x2 + 2x +1) – (y2 + 4y + 4) 0,25 = (x +1)2 – (y + 2)2 0,25 = (x + 1 + y + 2)(x + 1– y – 2) 0,25 = (x + y + 3)(x – y – 1) 0,25

b) Q = 5 4 3 2 2 14 28 9 19 + − − + + a a a a a = 5 4 3 2 2 14 28 9 18 1 + − + + + + ( a a ) ( a a ) ( a )

0,25

= 4 2 2 14 2 9 2 1 a ( a ) a ( a ) ( a ) + − + + + + 0,25 ( )( ) 4 2 2 14 9 1 = + − + + a a a 0,25

Do 4 2 14 9 0 − + = a a nên thay vào Q ta có: Q ( ) 2 0 1 1 = + + = a . 0,25

CÂU 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 40 ) 3 ( 9

2

2 2 = + + x x x .

b) Tìm giá trị của a, b sao cho đa thức ( ) 3 2 10 4 = + + − f x ax bx x chia

hết cho đa thức ( ) 2 2 = + − g x x x

a) ĐKXĐ: 3 − ≠ x

Khi đó pt ⇔ 40 3 3 . 2 ) 3 3 ( 3 3 . 2 2 2 = + + + + + − x x x x x x x x x

⇔ 40 3 6 ) 3 3 (

2 2 = + + + − x x x x x

⇔ 0 40 3 6 ) 3 (

2 2 2 = − + + + x x x x

0,25

Đặt t = 3

2

+ x x , ta có: t2 + 6t - 40 = 0 ⇔(t - 4)(t + 10) = 0 ⇔

 − = = 10 4 t t 0,25

+ Với t = 4, ta có: 3

2

+ x x = 4

⇒ x2 – 4x – 12 = 0 ⇔

 = − = 6 2 x x (TM ĐKXĐ)

0,25

+ Với t = -10, ta có: …