Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT huyện Phúc Thọ - Hà Nội

Bài 1: (4,5 điểm)

Cho biểu thức P =

𝑥2+ 𝑥

𝑥2 − 2𝑥 + 1 ∶ (

𝑥+1

𝑥 –

1

1− 𝑥+

2 − 𝑥2

𝑥2 − 𝑥)

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P;

b) Tìm x để P =

−1

2 ;

c) Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho x, y là các số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= |x −12| + 2y2 - 16y + 2055

b) Giải phương trình:

1

2𝑥2+5𝑥+2 +

1

2𝑥2+15𝑥+22+

1

2𝑥2+33𝑥+121 =

21

11

Bài 3: (3 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên n để A = (𝑛2 −8)2 + 36 là số nguyên tố.

b) Đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4, chia cho 𝑥2 + 1 dư 2𝑥 + 3. Tìm đa thức dư

khi chia 𝑓(𝑥) 𝑐ℎ𝑜 (𝑥+ 1)(𝑥2 + 1).

Bài 4: (7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 𝐴𝐸𝐹 ̂ = 𝐴𝐵𝐶 ̂ .

b) Chứng minh BH. BE + CH . CF = 𝐵𝐶2. c) Chứng minh điểm H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF. d) Trên đoạn thẳng HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (1,5 điểm)

Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3.

Chứng minh rằng:

𝑎

1+ 𝑏2 +

𝑏

1+ 𝑐2 +

𝑐

1+ 𝑎2 ≥

3

2

--------------- HẾT----------------

Họ và tên thí sinh: .......................................Số BD:.......................................

UBND HUYỆN PHÚC THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề có 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2022 – 2023

Môn: Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2022 - 2023)

Bài Nội dung Biểu điểm

Bài 1:

(5 điểm)

a) Tìm được ĐKXĐ : x ≠0; x ≠1; x ≠−1

Rút gọn được P =

𝑥2

𝑥 −1

2 điểm

b) Với x ≠0; x ≠1; x ≠−1

Ta có P =

−1

2 khi

𝑥2

𝑥−1 =

−1

2 => 2𝑥2 = −𝑥+ 1 Giải được x = -1 (loại); x =

1

2 ( nhận)

Vậy x =

1

2

1 điểm

c) Với x ≠0; x ≠1; x ≠−1 ta có:

P =

𝑥2

𝑥−1 =

𝑥2−1+1

𝑥−1 = x + 1 +

1

𝑥−1

Với x là số nguyên thì x + 1 nhận giá trị nguyên, khi đó P nhận giá trị nguyên khi

1

𝑥−1 nhận giá trị nguyên ⇔ x - 1 𝜖 { -1; 1}

+) x -1 = -1 ⇔ x = 0 (loại) +) x - 1 = 1 ⇔ x =2 (thỏa mãn) Vậy x = 2 thì P nhận giá trị nguyên.

1,5 điểm

Bài 2:

(4 điểm)

a) A= |x −12| + 2y2 - 16y + 2055 Ta có: |x −12| ≥0, dấu “=” xảy ra khi x = 12. 2y2 - 16y + 2055 = 2(y2 - 8y + 16) + 2023 = 2(y −4)2+ 2023 ≥2023, dấu “=” xảy ra khi y = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2023 đạt được khi x = 12 và y = 4

2 điểm

Tìm ĐKXĐ:

2𝑥2 + 5𝑥+ 2 ≠0 ⇔(𝑥+ 2)(2𝑥+ 1) ≠0 ⇔𝑥≠−2 𝑣à 𝑥≠−1

2

2𝑥2 + 15𝑥+ 22 ≠0 ⇔(𝑥+ 2)(2𝑥+ 11) ≠0 ⇔𝑥≠−2 𝑣à 𝑥≠−11

2

2𝑥2 + 33𝑥+ 121 ≠0 ⇔(𝑥+ 11)(2𝑥+ 11) ≠0 ⇔𝑥≠ −11 𝑣à 𝑥≠−11

2

ĐKXĐ: 𝑥≠ −2; 𝑥≠−

1

2 ; 𝑥≠−

11

2 ; 𝑥≠ −11.

𝐶ó:

3

2𝑥2+5𝑥+2 +

7

2𝑥2+15𝑥+22+

11

2𝑥2+33𝑥+121 =

21

11

⇔

3

(𝑥+2)(2𝑥+1) +

7

(𝑥+2)(2𝑥+11) +

11

(𝑥+11)(2𝑥+11) =

21

11

⇔

1

2 . [

3

(𝑥+2)(2𝑥+1) +

7

(𝑥+2)(2𝑥+11) +

11

(𝑥+11)(2𝑥+11) ]=

21

22

⇔

3

2(𝑥+2)(2𝑥+1) +

7

2(𝑥+2)(2𝑥+11) +

11

2(𝑥+11)(2𝑥+11) =

21

22

2 điểm

⇔

3

(2𝑥+4)(2𝑥+1) +

7

(2𝑥+4)(2𝑥+11) +

11

(2𝑥+22)(2𝑥+11) =

21

22

⇔

1

2𝑥+1 -

1

2𝑥+4 +

1

2𝑥+4 −

1

2𝑥+11 +

1

2𝑥+11 −

1

2𝑥+22 =

21

22

⇔

1

2𝑥+1 −

1

2𝑥+22 =

21

22 ⇔

21

(2𝑥+1)(2𝑥+22) =

21

22 ⇔

21

(2𝑥+1)(2𝑥+22) =

21

22

Suy ra: (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 22) = 22 4𝑥2 + 46𝑥+ 22 = 22

 4𝑥2 + 46𝑥= 0  2x(2x +23) = 0 +) x = 0 (thỏa mãn) +) 2x+23 = 0  x = - 11,5 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = - 11,5.

Bài 3:

(3 điểm)

a) A = (𝑛2 −8)2 + 36 = 𝑛4− 16 𝑛2 + 64 +36 = 𝑛4− 16 𝑛2 + 100 = 𝑛4+ 20 𝑛2 + 100 −36𝑛2 = (𝑛2 + 10)2 - (6𝑛)2 = (𝑛2 + 10 −6𝑛)(𝑛2 + 10 + 6𝑛) Có (𝑛2 + 10 −6𝑛) < (𝑛2 + 10 + 6𝑛) ( vì n là số tự nhiên) Để A là số nguyên tố thì 𝑛2 + 10 −6𝑛= 1 ⇔𝑛2 −6𝑛+ 9 = 0 ⇔(𝑛−3)2 = 0 ⇔𝑛−3 = 0 ⇔𝑛= 3 Thay n = 3 có A = (32 −8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố.

Vậy n = 3 là giá trị cần tìm.

1,5 điểm

Do (𝑥+ 1)(𝑥2 + 1) có bậc 3 nên khi chia f(x) cho (𝑥+ 1)(𝑥2 + 1) thì đa thức dư có dạng 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. Gọi thương của chúng là Q Ta có 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 1)(𝑥2 + 1). Q + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐

Vì đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4 mà x+1 = 0  x = -1 nên: 𝑓(−1) = (−1 + 1) [(−1)2 + 1]. Q + 𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑐 = 4 ⇔ 𝑎−𝑏+ 𝑐 = 4 (1) Mặt khác 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 1)(𝑥2 + 1). …