Đề thi Olympic Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Hoàng Mai - Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC

Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - xy - y + 4 =0 b) Tìm số tự nhiên n để: A = n3 - n2 – n - 2 là số nguyên tố c) Cho biểu thức B = n3 + 2n2 + 2n + 1 (Với n là số nguyên dương). Chứng minh rằng B không là số chính phương.

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A =

3

2 2 2 1 1 . 1 1 2 1 1 x x x x x x x x −   − −   − + − + −   ( Với x ≠ 1)

b) Xác định a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + a.x2 + 3x + b chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x - 2

c) Giải phương trình: 2

𝑥𝑥2+1 + 3

𝑥𝑥2+2 + 4

𝑥𝑥4+3 = 3

Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 10y + 20 b) Cho a, b là các thực thỏa mãn a.b > 0

Chứng minh rằng 4𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 + 𝑎𝑎

𝑏𝑏+

𝑏𝑏

𝑎𝑎≥3

Câu 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB cố định, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Điểm C di chuyển trên tia Ax, D là trung điểm của AB. Vẽ AH vuông góc với CD, AH cắt BC và tia By lần lượt tại F và E.

a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADE. b) Chứng minh DE vuông góc với BC. c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF = 2.FB.

--- Hết --- (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .......................................................................... Số báo danh:……………

2

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC

Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 03 trang)

Môn: Toán 8

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1

A x2 - xy - y +4 =0 <=> x2 -1 –(xy+y) +5 = 0 <=> (x-1)(x +1) – y(x+1) =-5 <=> (x+1)(y-x+1) = 5 => x+1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5} Ta có bảng kết quả

x+1 1 5 -1 -5 y-x+1 5 1 -5 -1 x 0 4 -2 -6 y 4 8 2 -1

0,5

0.5

0.5

B A = n3 - n2 – n -2= (n-2)(n2 +n +1) + Nếu n = 0 => A = -2 (không thỏa mãn) + Nếu n = 1 => A = -3 không thỏa mãn + Nếu n = 2 => A = 0 (KTM) + Nếu n= 3 => A = 13 là số nguyên tố + Nếu n ≥ 4 => n-2 ≥ 2, n2 +n+1 >2 ⇒ A là hợp số Vậy n = 3

0.25 0,25 0.25 0,25 0.25

0,25 C Giả sử B = n3 +2n2 +2 n + 1 là số chính phương B= (n2 +n+1)(n+1) Gọi d =ƯC LN(n2 +n+1,n+1) => n2 +n +1 và n+1 cùng chia hết cho d => (n2 +n+1) –n(n+1)⋮d =>1)⋮d => d =1 => n2 +n +1 và n+1 đồng thời là số chính phương Mà n>0 => n2 < n2 +n +1 < (n+1)2 => n2 +n +1 không là số chính phương => giả sử sai nên B không là số chính phương

0. 25

0.25 0,25

0,25

Câu 2

a 2,0

A =

1

𝑥𝑥−1 −

𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)

𝑥𝑥2+1 .(

𝑥𝑥(𝑥𝑥+1)−𝑥𝑥+1

(𝑥𝑥−1)2(𝑥𝑥+1))

A= 1

𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)

𝑥𝑥2+1 .( 𝑥𝑥2+1

(𝑥𝑥−1)2(𝑥𝑥+1))

A= 1

𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥

𝑥𝑥−1.

A = 1−𝑥𝑥

𝑥𝑥−1

A= -1

0.5

0.5 0,5

0,5

3

B

g(x) = x2 +x -2 = (x-1)(x+2) Ta có f(x) chia hết cho g(x) => f(x) = (x-1)(x+2).h(x) ( đúng với mọi x) Cho x = 1 ⇒ f(1) = 0 ⇒1 + a + 3 + b = 0 ⇒ a + b = -4 Cho x = -2 => f(-2) = 0 => 16 + 4a -6 + b = 0=> 4a + b = -10 Ta giải được a = - 2 ; b= -2

0.5 0,5 0.5

0.5

c. 2 𝑥𝑥2 + 1 + 3 𝑥𝑥2 + 2 + 4 𝑥𝑥4 + 3 = 3

<=>1 − 2

𝑥𝑥2+1 + 1 − 3

𝑥𝑥2+2 + 1 − 4

𝑥𝑥4+3 = 0

<=> 𝑥𝑥2−1

𝑥𝑥2+1 + 𝑥𝑥2−1

𝑥𝑥2+2 + 𝑥𝑥4−1

𝑥𝑥4+3 = 0

<=>(𝑥𝑥2 −1)( 1

𝑥𝑥2+1 + 1

𝑥𝑥2+2 + 𝑥𝑥2+1

𝑥𝑥4+3) = 0

<=> x2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1

0.5 0.5

0,5 0,5

Câu 3

a B = x2 +2y2 – 2xy +4x– 10y + 20 B = (x-y)2 +4.(x-y) +4 + (y2 -6y +9) + 7 B = (x-y +2)2 + (y-3)2 +7 ⇒B ≥𝟕𝟕 ⇒ GTNN của B là 7 khi y = 3; x =1

0,5 0,5 0,5 0,5

B

4𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 +

𝑎𝑎

𝑏𝑏+

𝑏𝑏

𝑎𝑎≥3

<=> ( 4𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 −1) + ( 𝑎𝑎

𝑏𝑏+

𝑏𝑏

𝑎𝑎−2) ≥0

<=> −(𝑎𝑎−𝑏𝑏)2

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 + (𝑎𝑎−𝑏𝑏)2

𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥0

<=> (𝑎𝑎−𝑏𝑏)2( 1

𝑎𝑎𝑎𝑎− 1

(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2) ≥0

<=> (𝑎𝑎−𝑏𝑏)2( 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 ) ≥0

BĐT cuối đúng do ab >0 => đpcm

0.5 0.5 0.5

0,5

Câu 4

0,5

a ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴∾∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (gg)

1,0

y

x

K

F

E

H

D A B

C