Đề HSG cấp huyện Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT An Dương - Hải Phòng

UBND HUYỆN AN DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 -2023

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1. (2,0 điểm) 1. Cho hai số ,a b thỏa mãn 9; 14 a b ab    . Chứng minh rằng:

2 2 3 3 2( ) 755. a b a b     2. Tìm một đa thức bậc ba ( ) P x , biết ( ) P x chia cho các đa thức     1 , 2 , 3 x x x    đều được dư là 6 và   1 18 P   .

Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức

2 ( 1) ( 1). p p q q    Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho

2 1 ; 1 . p kq q kp  

2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 4 19 3 . x x y   

Bài 3. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2

2 5 0. 4 1 4 5 x x x x     

2. Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1( ) 5 3 8 14 3 8 14 3 8 14

a b c a b c a b ab b c bc c a ca           

Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông , ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF  . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và . N 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác . AEH Chứng minh rằng : 2 . AC EF 

3. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 . AD AM AN  

Bài 5. (1,0 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng 1a trận và thua 1b trận,

đội thứ 2 thắng 2a trận và thua 2b trận, …., đội thứ 9 thắng 9a trận và thua 9b trận.

Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 9 1 2 3 9 ... ... a a a a b b b b         

---------------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh: .................................................Số báo danh.....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN AN DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 -2023

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài Nội dung cần đạt Điểm 1 (2,0đ)

1. Cho hai số ,a b thỏa mãn 9; 14 a b ab    . Chứng minh rằng:

2 2 3 3 2( ) 755. a b a b     Ta có:

2 2 2 2 ( ) 2 9 2.14 53. a b a b ab       

0,25

3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 9 3.14.9 351 a b a b ab a b         0,25

3 3 2( ) 2.351 702. a b     0,25

Vậy:

2 2 3 3 2( ) 53 702 755. a b a b       0,25

2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho     1 , 2 , 3 x x x    đều được

dư 6 và   1 18 P   .

Theo định lí Bézout ta có:    1 2 3 6 P P P    . Do đó ta đặt

          1 1 2 1 2 3 P x d c x b x x a x x x           Cho 1 x  ta được  1 P d  , suy ra 6 d            6 1 1 2 1 2 3 P x c x b x x a x x x          

0,25

Cho 2 x  ta được  2 6 P c  , suy ra 0 c            6 0 1 1 2 1 2 3 P x x b x x a x x x          

0,25

Cho 3 x  ta được  3 6 2 P b   , suy ra 0 b            6 0 1 0 1 2 1 2 3 P x x x x a x x x          

Do đó      6 1 2 3 P x a x x x     

0,25

Cho 1 x  ta được   1 6 24 P a    , do đó 18 6 24a    suy ra 1 a . Vậy      6 1. 1 2 3 P x x x x     

Rút gọn ta được: 

3 2 6 11 P x x x x    .

0,25

1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức 2 ( 1) ( 1). p p q q    Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho 2 1 ; 1 . p kq q kp  

Nếu p q  thì ta có 2 0 1 1 1

p q p q p q

       

, điều này vô lí vì ,p q

là các số nguyên tố.

0,25

Do đó p q  , khi đó do ,p q là các số nguyên tố nên

2 ( 1) ; ( 1) . p q q p    

0,25

Như vậy tồn tại các số nguyên dương , m n thỏa mãn

2 1 ; 1 . p mq q np  

0,25

HƯỚNG DẪN CHẤM