Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 trường THCS Phú Thái - Hải Dương

PHÒNG GD&ĐT KIM THÀNH TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 8 Năm học 2022-2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15.

2) Cho xyz = 1. Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 P 1 x xy 1 y yz 1 z zx = + + + + + + + +

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Phân tích thành nhân tử:  

3 3 3 3 a b c a b c     

Áp dụng tìm x biết:     3 3 2 6 2 1 1 x x x x      

2) Tìm số dư trong phép chia của đa thức:     1 2 3 6 2023      x x x x cho đa

thức 2 5 7   x x Câu 3 (2,0 điểm)

1) Cho a, b, c là các số tự nhiên.

Chứng minh rằng A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 là một số chính phương.

(Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên)

2) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 3xy + 2y – 2x + 1 = 0.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại

M và N. Chứng minh rằng:

1) AM = BF;

2) Tứ giác AEMD là hình chữ nhật;

3) 2 2 2 1 1 1 AB AM AN   .

Câu 5 (1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

2 1 2 1      x x P x x với 1 x

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm Tổng điểm

1

a) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15

= (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15 0,25

1,00 = [(x2 + 4x -1) – 4][(x2 + 4x – 1) + 4] + 15 0,25 = (x2 + 4x – 1)2 – 16 + 15 = (x2 + 4x – 1)2 – 1 0,25

= (x2 + 4x – 2)(x2 + 4x) = x(x + 4)(x2 + 4x – 2) 0,25

1 1 1 P 1 x xy 1 y yz 1 z zx z zx 1 P z xz xyz zx yzx yzzx 1 z zx

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

0,25

1,00 Thay xyz = 1 và biểu thức P ta có:

z zx 1 P z xz 1 zx 1 z 1 z zx = + + + + + + + + 0,25

z zx 1 P z zx 1 + + = + + 0,25

P 1 = . Vậy P = 1 0,25

2

Phân tích đa thức thành nhân tử:   3 3 3 3 a b c a b c     

Ta có   3 3 3 3 a b c a b c           3 3 3 3 a b c ab a b a b c         0,25

1,00

        3 3 3 3 a b c c a b a b c ab a b a b c            

    3 a b c a b c ab                    3 3 a b a b c c b c a b b c a c              (*) 0,25

Tìm x biết:     3 3 2 6 2 1 1 x x x x      

Ta có:       3 3 3 2 3 2 1 1 2 0 x x x x       

    2 2 3 1 1 2 0 x x x x       (Theo (*)).

0,25

Vì 2 1 x x   = 0; 2 1 x  = 0 vô nghiệm . KL: x = -2 0,25

    

2 2 1 2 3 6 2023

( 5x 6)( 5x 6) 2023

     

     

P x x x x

P x x 0,25

1,00 Đặt x2 + 5x + 7 = t

Ta có P = (t – 13)(t - 1) + 2023 0,25

P = t2 – 14t +13 + 2023 0,25

P = t2 – 14t + 2036

Do đó khi chia P = t2 – 14t + 2036 cho t ta có số dư là 2036 0,25

3

1) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 A = 4(a2 + ab + ac)(a2 + ac + ab + bc) + b2c2 0,25

1,00

Đặt a2 + ab + ac = t Ta có A = 4t(t + bc) + b2c2 A = 4t2 + 4t.bc + b2c2 0,25

A = (2t + bc)2 = [2(a2 + ab + ac) + bc]2 = (2a2 + 2ab + 2ac + bc)2 0,25 Vì a, b, c là các số tự nhiên nên A là một số chính phương. 0,25 1) 3xy + 2y – 2x + 1 = 0  (3x + 2)y = 2x – 1

2 1 2 , 3 2 3 x y x x

     0,25

1,00

2 1 6 3 2(3x 2) 7 7 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 x x y y x x x x               0,25

y là số nguyên thì 3y cũng là số nguyên. Để 3y nhận giá trị là số nguyên khi 7 chia hết cho 3x + 2 Hay   3 2 ¦ (7) 1; 7 x    0,25

  1; 3 x 

Với x = -1 thì y = 3; với x = -3 thì y = 1. Vậy   ( ; ) ( 1;3),( 3;1) x y    0,25

M

N

H

F

E

D C

B A

4.1

Xét ADM và BAF có:   0 BAF 90 ADM   0,25

1,00 AD = AB (cạnh hình vuông)   ABF DAM  (cùng phụ với góc HAB) 0,25

Do đó ADM = BAF (g.c.g) 0,25 Suy ra AM = BF (2 cạnh tương ứng) 0,25

4.2 Do ADM = BAF (g.c.g) chứng minh câu a Suy ra DM = AF (2 cạnh tương ứng) 0,25 1,00 Mà DM // AF (Do AB//CD, E thuộc AB, M thuộc CD) 0,25