Đề Olympic Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Quốc Oai - Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI

ĐỀ OLIMPIC TOÁN 8

Năm học 2022 - 2023 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên: ……………….....................………..……..…SBD:.............…

Bài 1 (4,5 điểm)

1/ Hiệu bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp bằng 25. Tìm 2 số ấy. 2/ Tìm x biết: (x – 2 )(x + 2)(x2 – 10) = 72 3/ Tìm x và y biết xy = 18 và x2y + xy2 + x + y = 171. Bài 2 (4,5 điểm)

1/ Cho A =

2 3

2 4x 8x x : 2 2 x 4 x x 2    + −    + − −    

với x ≠ 2 ± ; x ≠ 4.

Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của 1 A với x > 0

2/ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2) = 10 và ( ) P 2 6 − = −. Tìm đa

thức P(x) biết đa thức P(x) chia cho đa thức 2 x 4 − được thương là (2x + 6) và còn dư Bài 3 (2 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ cùng ngày và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h, 35 km/h, 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy? Bài 4 (3 điểm)

1/ Cho 2 2 3x 3y 10xy + = và y > x > 0. Tính giá trị của biểu thức A = x y x y − +

2/ Tìm số abcd sao cho abcd ab.cd 

Bài 5 (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại O, trên đoạn OD lấy điểm P bất kỳ. Gọi M là điểm đối xứng với C qua P. a/ Tứ giác AMDB là hình gì? b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC và 3 điểm E, F, P thẳng hàng. c/ Chứng minh: Tỉ số các cạnh của hình chữ nhật AEMF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên OD.

d/ Giả sử CP ⊥ BD, CP = 2,4 cm và PD 9 PB 16 = . Tính các cạnh của hình chữ nhật

ABCD

Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm.

(Đề gồm có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC

Năm học 2022 - 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

Câu Phần Nội dung Điểm

1 (4.5đ)

1 (1.5đ)

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là a, b (a, b∈N, a > b)

Khi đó: a – b = 1

và a2 – b2 = 25 ⇒ (a – b)(a + b) = 25

Mà a – b = 1 nên a + b = 25

⇒ a = (25 + 1) : 2 = 13, b = 13 – 1 = 12

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 12 và 13

0,25 0,25 0.5 0.25 0.25

2 (1.5đ)

(x – 2 )(x + 2)(x2 – 10) = 72

⇒ (x2 – 4 )(x2 – 10) = 72

⇒ (x2 – 7 + 3 )(x2 – 7 – 3) = 72

⇒ (x2 – 7)2 – 9 = 72

⇒ (x2 – 7)2 = 81

+ x2 – 7 = 9 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4

+ x2 – 7 = - 9 ⇒ x2 = - 2 (không tồn tại x)

Vậy: x = ± 4

0.25 0.25 0.25 0.25 0.5

3 (1.5đ)

Tìm x và y biết xy = 18 và x2y + xy2 + x + y = 171

x2y + xy2 + x + y = 171 ⇒ xy(x + y) + (x + y) =171

⇒ (x + y)(xy + 1) =171⇒ (x + y)(18 + 1) =171

⇒ x + y = 171 : 19 = 9

⇒ y = 9 – x thay vào xy = 18 ta có

x(9 – x) = 18 ⇒ x2 – 9x + 18 = 0 ⇒ x2 – 3x – 6x + 18 = 0

⇒ x(x – 3) – 6(x – 3) = 0 ⇒ (x – 3)(x – 6) = 0

x 3 0 x 3 y 6

x 6 0 x 6 y 3

− = = ⇒ =   ⇒ ⇒   − = = ⇒ =  

Vậy: (x, y) = (3, 6), (6, 3)

0.5 0.5 0.5

2 (4đ) 1

(2.5đ) 1/ Cho A =

2 3

2 4x 8x x : 2 2 x 4 x x 2    + −    + − −    

với x ≠ 2 ± ; x ≠ 4.

Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của 1 A với x > 0

A =

2 3

2 4x 8x x : 2 2 x 4 x x 2    + −    + − −    

với x ≠ 2 ± ; x ≠ 3

( )( )

2 1 2x x 2x 4 A 4x : 2 x x 2 x 2 x 2

  − +   = −    + − + −    

( )( )

2 x 2 2x x 2 A 4x . . x 2 x 2 4 x − − − = − + −

2 4x A x 4 = −

Vậy với x ≠ 2 ± ; x ≠ 4 thì

2 4x A x 4 = −

Khi x > 0; x ≠ 2; x ≠ 4 ⇒ 2 1 x 4 A 4x − = = 2 1 1 4x x −

⇒

2 1 1 1 1 1 A x 8 64 64   = − − + ≥    

Dấu “=” xảy ra  x = 8

Vậy GTNN của 1 A là 1 64 đạt được x = 8

0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0.25 0,25

2 (2đ) 2) Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2) = 10 và

( ) P 2 6 − = −. Tìm đa thức P(x) biết đa thức P(x) chia cho đa thức

2 x 4 − được thương là (2x + 6) và còn dư Vì đa thức chia là x2 – 4 nên đa thức dư có dạng: ax + b Khi đó ta có: P(x) = (x2 – 4)(2x + 6) + ax + b

Vì P(2) = 10 ⇒ 2a + b = 10 ⇒ b = 10 – 2a

⇒ P(x) = (x2 – 4)(2x + 6) + ax + 10 – 2a

Vì P( - 2) = - 6 ⇒ 2a 10 2a 6 − + − = − ⇒ a = 4 ⇒ b = 2

Vậy đa thức P(x) = ( )( ) 2 x 4 2x 6 4x 2 − + + +

0,5 0,5 0,5

0,5