Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Thanh Hà - Hải Dương

UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức:

2

3 6 1 : 4 6 3 2 6 2 x A x x x x x   = + +   − +   + − với 2, 0 x x ≠± ≠

2) Cho abc = 2; tính giá trị của biểu thức B = a b 2c ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 + +

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Giải phương trình : ( )( ) 3 2 3 8 16 x x − + = −

2) Xác định các số a, b để đa thức b ax x x x f + + + = 2 3 2 ) ( chia hết cho đa thức

1 ) ( 2 + + = x x x g

Câu 3 (2,0 điểm).

1) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: ( ) 2 16 6 x y y − = +

2) Cho , , a b c∈. Chứng minh 5 5 5 ( ) 30 a b c a b c + + − + + 

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. 1) Chứng minh AME CMB ∆ = ∆ và AE BH ⊥ . 2) Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hình vuông AMCD, BMEF. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB. Câu 5 (1,0 điểm).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) 2 2 B xy x 2 y 6 12x 24x 3y 18y 2053 = − + + − + + +

-------------------Hết-----------------

Họ và tên thí sinh: …………………... Họ, tên chữ ký GT1: …………………

Số báo danh: ………………………… Họ, tên chữ ký GT2: …………………

UBND HUYỆN THANH HÀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm

Câu 1

2,0đ

1)

2 6 1 6 : ( 2)( 2) 3( 2) 2 2 x A x x x x x x   = − +   − + − + +  

0,25

2 1 6 : ( 2)( 2) 2 2 2 x x x x x x   = − +   − + − + +  

2( 2) 2 6 : ( 2)( 2) 2 x x x x x x − + + − = − + + 0,25

2 4 2 2 ( 2)( 2) 6 x x x x x x − − + − + = ⋅ − +

6 2 ( 2)( 2) 6 x x x − + = ⋅ − + 0,25

1 1 2 2 x x − = = − − Vậy 1 2 A x = − với 2, 0 x x ≠± ≠

0,25

2) Ta có :

B = a ab 2c a ab 2c

ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc + + = + +

0,25

a ab 2c ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) = + + a ab 2 ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab = + + 0,25

ab + a + 2 ab + a + 2 = 0,25 = 1 0,25

Câu 2

2,0đ

1) ( )( ) 3 2 3 8 16 x x − + = −

2 9 18 16 16 x x ⇔ + − = − 0,25

2 9 18 0 9 ( 2) 0 x x x x ⇔ + = ⇔ + = 0,25

9 0 0

2 0 2

x x

x x

= =   ⇔ ⇔   + = = −  

0,25

Vậy x = 0; x = -2 0,25 2) ( ) 3 2 3 2 ( ) 2 1 2( 1) ( 2) 1 f x x x ax b x x x a x b = + + + = − + + + + − + − 0,25

Để b ax x x x f + + + = 2 3 2 ) ( chia hết cho đa thức 1 ) ( 2 + + = x x x g thì ( 2) 1 0 a x b − + −≡ với mọi x

0,25

=> 2 0 2

1 0 1

a a

b b

− = =   ⇒   −= =  

0,25

Vậy a = 2 và b = 1 thì đa thức b ax x x x f + + + = 2 3 2 ) ( chia hết cho đa

thức 1 ) ( 2 + + = x x x g

0,25

( ) ( ) 2 2 2 1) 16 6 3 7 x y y x y − = + ⇔ − + = 0,25

( )( ) 3 3 1.7 7.1 ( 1).( 7) ( 7).( 1) x y x y ⇔ + + − − = = = − − = − − 0,25

Câu 3

2,0đ

x y + -2 4 -4 -10 x y − 10 4 -4 2

0,25

Vậy các cặp số nguyên (x; y) phải tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) 4; 6 , 4;0 , 4;0 , 4; 6 − − − −

0,25

2) Ta có: ( )( ) ( )( ) 5 2 2 2 2 1 1 1 4 5 a a a a a a a a − = − + = − − +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 . 1 2 5 1 . . 1 a a a a a a a a = − − + + + − +

0,25

Do ( )( ) ( )( ) 2 1 1 2 a a a a a − − + + là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2;3;5, do đó chia hết cho 30 Lại có ( ) ( ) 1 1 a a a − + chia hết cho 6nên ( ) ( ) 5 1 1 a a a − + chia hết cho 30 Từ đó suy ra 5 a a − chia hết cho 30 Tương tự 5 b b −chia hết cho 30và 5c c − chia hết cho 30.

0,25

0,25

Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 a b c a b c a a b b c c + + − + + = − + − + −

chia hết cho 30

0,25

Câu 4

3,0đ

Vẽ hình đúng ý 1) được 0,25

0,25

1) Chứng minh AME CMB ∆ = ∆ 0,5

Chứng minh được AE BC ⊥ 0,5

2) Tam giác vuông AHC có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền AC 1 1 2 2 OH AC DM ⇒ = =

0,25

 0 DMH (H 90 ) DH MH (1) ⇒∆ = ⇒ ⊥ 0,25

Chứng minh tương tự, ta đượcHF MH (2) ⊥ 0,25

Từ (1) và …