Đề HSG Toán 8 vòng 2 năm 2022 - 2023 trường THCS Cao Xuân Huy - Nghệ An

TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG 2 – NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: Toán – Lớp 8 – Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (4,0 điểm)

1) Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 2 1 2 1 1 1 x y x y − − + = − − .

Chứng minh M = x2 + y2 – xy là bình phương của một số hữu tỷ.

2) Cho đa thức ( ) f x . Tìm số dư của phép chia ( ) f x cho ( )( ) 1 2 − + x x , biết rằng ( ) f x chia 1 x − dư 7 và ( ) f x chia 2 x + dư 1.

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn: ( ) 4 40 1 x y x + = + .

2) Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2 3 2 1 3 8 16 x x x − + + = − Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 P x x y y z z = + + + + + .

2) Cho , m n là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn

2

2 2

2

m n

n m

 +  + 



 .

Chứng minh:

2 2 2 4 m n mn + +  . Câu 4. (7,0 điểm)

Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH và trung tuyến BN. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BN cắt BN và BC lần lượt tại K và M. Chứng minh rằng:

a) 2 2 2 1 1 4 . = + AK AB AC

b)   = BKH BAH

c) 2 1 1 . MB BH BC = +

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hình vuông có cạnh bằng 2023cm. Bên trong hình vuông, người ta lấy 2022 điểm phân biệt sao cho trong 2026 điểm (tính cả 4 đỉnh hình vuông) không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng, tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số

2026 điểm đã cho (tính cả 4 đỉnh hình vuông) có diện tích không lớn hơn 2023 2 cm2.

------Hết------

ĐÁP ÁN HSG TRƯỜNG VÒNG 2

Câu 1.

a) Ta có:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x y x y y x x y x y − − + = ⇔ − − + − − = − − − −

1 2 2 1 2 2 1 y x xy x y xy x y xy ⇔− − + + − − + = − − +

3 2 2 1 xy x y ⇔ = + −

( ) 2 2 2 3 M x y xy x y xy ⇒ = + − = + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 x y x y x y x y x y = + − + − = + − + + = + −

Mà ,x y là các số hữu tỷ khác 1 2 2 M x y xy ⇒ = + − là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm).

b) Gọi dư của phép chia ( ) f x cho ( )( ) 1 2 x x − + là . ax b +

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) . 1 7 . 2 1 1 2 . f x p x x q x x k x x x ax b = − + = + + = − + + +

Thay 1, 2 x x = = − được: 7 3 6 2 2 1 7 1 5 a b a a a b b b + = = =    ⇔ ⇔    − + = = − =   

.

Dư cần tìm là: 2 5. x +

Câu 2.

1) Vì ( ) ( ) ( ) 4 3 * ; 40 1 40 40 40 40 4 x y N x y x x y x y x y x y ∈ ⇒ + = + < + = + ⇒ + < ⇒ + <

Do đó: 2 4 x y ≤ + <

Mặt khác: 40 1 x + là số lẻ nên ( ) 4 x y + là số lẻ x y ⇒ + là số lẻ

Ta có: 2 4 x y ≤ + < , x y + là số lẻ 3 x y ⇒ + = Từ đó: ( ) ( ) ( ) { } ; 2;1 ; 1;2 x y ∈

Thử lại chỉ có cặp số ( ) ( ) ; 2;1 x y = thỏa mãn bài toán .

Vậy 2; 1. x y = =

2) Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 3 8 16 3 2 9 1 3 8 144 x x x x x x − + + = − ⇔ − + + = −

( )( ) ( ) 2 3 2 3 3 3 8 144 x x x ⇔ − + + = −

Đặt 3 3 3 2 5, 3 8 5, x t x t x t + = ⇒ − = − + = + ta có phương trình:

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 2

4 2 2 2

2

2

5 5 144 25 144

25 144 0 9 16 0

9 3

4 16

t t t t t

t t t t

t t

t t

− + = − ⇔ − = −

⇔ − + = ⇔ − − =

 = = ±  ⇔ ⇔  = ± =  

Với 3 3 3 3 0 t x x = ⇒ + = ⇔ = Với 3 3 3 3 2 t x x = −⇒ + = −⇔ = −