Đề học sinh giỏi lần 2 Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Thủ Đức - TP HCM

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ II

NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN – LỚP 8

Ngày thi: 18/3/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x2 – 2024x + 2023 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

Câu 2. (4 điểm)

a) Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1 0 x y z   .

Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 yz zx xy A x 2yz y 2zx z 2xy      

b) Cho ba số a, b, c  0 thỏa mãn a + b + c = 0

Hãy tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B b c a c a b a b c         

Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình

a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0

b) 13 x 2 x x 1 2010 2021 2023    

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: BFC BDA và   BFD ACB  b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: CD.FK = CK.FD

c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AD, AC lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh: PQ = QR. Câu 5. (1 điểm) Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km. Cùng một lúc một xe ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B đi ngược chiều nhau. Xe ô tô và xe máy gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe ô tô khởi hành sau xe máy một giờ thì sẽ gặp nhau tại điểm D cách C một khoảng là bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h. Câu 6. (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi I là điểm nằm trong tứ giác ABCD. Tính diện tích tứ giác ABCD biết SAMIQ = 32 (cm2), SBMIN = 50 (cm2) và SDPIQ = 20 (cm2)

---Hết--- (Thí sinh không sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………Số báo danh:……..…….

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 – MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 – 2023

Câu Nội dung Biểu điểm

1a

Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 2024x + 2023 = x2 – x – 2023x + 2023 = x(x – 1) – 2023(x – 1) = (x – 1)(x – 2023)

1+0,5

0,5

1b

b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Đặt a = x – y; b = y – z; c = z – x  a + b + c = 0 a + b = – c

(a + b)3 = – c3 ...  a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

0,5 0,5x2

0,5

2a

Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1 0 x y z    .

Tính: 2 2 2 yz zx xy A x 2yz y 2zx z 2xy      

ĐK: x, y, z 0. Ta có 1 1 1 yz xz xy 0 xy yz zx 0 x y z xyz          

yz = – xz – xy; xy = – yz – zx; zx = – xy – yz

2 2 yz yz yz yz yz x 2yz x yz xy zx x(x y) z(x y) (x y)(z x) (x y)(z x)                 

Tương tự 2

zx zx y 2zx (y z)(x y)      và 2

xy xy z 2xy (z x)(y z)     

yz zx xy yz(y z) zx(z x) xy(x y) A (x y)(z x) (y z)(x y) (z x)(y z) (x y)(y z)(z x)                      

  yz(y z) zx(z y y x) xy(x y) [yz(y z) zx(z x) xy(x y)] (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x)

                     

    yz(y z) zx(y z) zx(x y) xy(x y) (y z)(yz zx) (x y)(xy zx)

(x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x)

                     

  (y z)z(x y) (x y)x(y z) (x y)(y z)(z x) 1 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x)

                 

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

2b

Cho ba số a, b, c  0 thỏa mãn a + b + c = 0

Tính

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B b c a c a b a b c         

Ta có a + b + c = 0 b + c = – a (b + c)2 = a2 b2 + c2 – a2 = – 2bc Tương tự c2 + a2 – b2 = – 2ca; a2 + b2 – c2 = – 2ab Mặt khác a + b + c = 0 a + b = – c (a + b)3 = – c3 a3 + b3 + c3 = – 3ab(a + b)  a3 + b3 + c3 = 3abc

2 2 2 3 3 3 a b c a b c 3abc 3 B 2bc 2ca 2ab 2abc 2abc 2              

0,5

0,5

0,5x2

3a

a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0

 x4 – 2x3 + 4x3 – 8x2 + x2 – 2x – 6x + 12 = 0  x3(x – 2) + 4x2(x – 2) + x(x – 2) – 6(x – 2) = 0  (x – 2)(x3 + 4x2 + x – 6) …