Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Vũ Thư - Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN VŨ THƯ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: TOÁN 8 Năm học: 2022 – 2023 (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm).

Cho biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 :   − + + = + −   + + +  

x y x y x xy y A x xy xy y xy x y với 0, 0, . ≠ ≠ ≠− x y x y

Rút gọn biểu thức A và tính giá trị của biểu thức A khi x; y thỏa mãn đẳng thức

( ) 2 2 5 2 2 . + + = − x y x y

Bài 2 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: ( )( )( )( ) 1 2 2 1 2 3 6 + + + + = x x x x .

b) Tìm m để phương trình (ẩn x): 1 2 1 2 − + + = + − x x m x x có nghiệm duy nhất.

Bài 3 (4,0 điểm).

a) Biết rằng đa thức f(x) chia cho đa thức ( ) 2 = − g x x được dư là 21, chia cho đa thức

( ) 2 2 = + h x x được đa thức dư là 2 1 − x . Tìm đa thức dư khi chia đa thức ( ) f x cho đa thức

( ) ( ) . h x g x .

b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 2 3 5 + = + y xy x .

Bài 4 (4,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Gọi K là điểm nằm giữa A và B, I là điểm nằm giữa B và C sao cho CI = BK. Đường thẳng AI cắt đường thẳng DC tại M.

a) Chứng minh: IK // BM. b) Gọi N là điểm thuộc tia đối của tia CB sao cho CN = CM, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD. Chứng minh ∆BOI đồng dạng ∆BND.

Bài 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh BC (D không trùng với B và C). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của D trên các cạnh AB và AC.

a) Chứng minh rằng: Nếu AD vuông góc BC thì ∆AFE đồng dạng ∆ABC .

b) Cho biết 2 2 2 2 1 1 = + AD DB DC . Chứng minh AD là trung tuyến hoặc AD là đường phân

giác trong của ∆ABC .

Bài 6 (2,0 điểm). a) Các số tự nhiên từ 1 đến 10 được xếp xung quanh một đường tròn theo một thứ tự tùy ý. Chứng minh rằng với cách xếp đó, luôn tồn tại ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng 17.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố a và b sao cho ;4 4;4 3 + − − a b ab ab là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

----- Hết ----- Họ và tên thí sinh:…………………………………………….Số báo danh:………………………….

PHÒNG GD VŨ THƯ

---***---

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG HUYỆN

Môn: Toán 8 – Năm học 2022-2023 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM Bài 1

Cho biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 :   − + + = + −   + + +  

x y x y x xy y A x xy xy y xy x y với

0, 0, . ≠ ≠ ≠− x y x y

Rút gọn biểu thức A và tính giá trị của biểu thức A khi x;y thỏa mãn đẳng thức ( ) 2 2 5 2 2 . + + = − x y x y

*) Rút gọn biểu thức A:

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

:

:

  − + + = + −   + + +  

  − + + = − −   + + +  

x y x y x xy y A x xy xy y xy x y

x x y y x xy y x x y xy y x y x y

0,25

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 . − − + − + = + + +

x y x y x y xy x y xy x y x xy y 0,25

( ) ( )( )

2

2 2 1 . − − − + = + +

xy x y x y x y

xy x xy y 0,5

( ) ( )

2

2 2 1 .   − − +   = + +

x y xy x y

xy x xy y 0,25

( )( ) 2 2

2 2 1 . − − + + = + +

x y x xy y

xy x xy y 0,25

= − y x xy 0,25

Vậy với 0, 0, . ≠ ≠ ≠− x y x y thì ta có − = y x A xy 0,25

*) Tính giá trị của biểu thức A khi x; y thỏa mãn đẳng thức ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 5 2 2

5 2 2 1 2 0

+ + = −

+ + = − ⇔ − + + =

x y x y

x y x y x y

0,75

( ) ( ) 2 2 1 2 0 ⇔ − = + = x y (Do ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0; 2 0 − ≥ + ≥ x y ) 0,5

( ) 1 / 2

=  ⇔ = − 

x t m y 0,25

Khi đó: ( ) 2 1 3. 1 2 2 − −− = = = − y x A xy 0,25

Kết luận: Khi x;y thỏa mãn đẳng thức: ( ) 2 2 5 2 2 + + = − x y x y thì 3 2 = A 0,25

Bài 2 a) Giải phương trình: ( )( )( )( ) 1 2 2 1 2 3 6 + + + + = x x x x .