Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 trường THCS Lê Quý Đôn - Bắc Giang

Câu 1: (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức ( ) ( )

2 2 3

2 3 2 1 1 2 4 1 4 : 1 1 4 3 1

a a a a a M a a a a a

  − − + + = − +   − − + −    

, với 0; 1 a a ≠ ≠.

a) Rút gọn M .

b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất.

2) Cho các số thực ,a b thỏa mãn: 2 2 1 0 a b ab a b + + − + + = . Tính giá trị của biểu thức

3 4 3 2 2022 M a b = − + .

Câu 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 6 5 4 3 2 3 6 7 6 3 1 0 x x x x x x − + − + − + =

2) Tìm đa thức ( ) f x biết ( ) f x chia cho ( ) 3 x − dư 2; ( ) f x chia cho ( ) 4 x + dư 9 và ( ) f x

chia cho ( ) 2 12 x x + − được thương là ( ) 2 3 x + và còn dư.

Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tìm các cặp số tự nhiên ( ) ,x y thỏa mãn : 2 3 3026 y x + =

2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn + = + 2 2 2 3 a a b b . Chứng minh rằng: a b − và 2 2 1 a b + + là các số chính phương.

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao , , AD BE CF . Gọi H là trực tâm của tam giác

ABC . Chứng minh:

1) ABC ∆ đồng dạng với AEF ∆ .

2) 1 HD HE HF AD BE CF + + = .

3) ( )

2

2 2 2 4 AB BC CA

AD BE CF

+ + ≥ + + .

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện

2 2 2 3 1011 2 x y yz z + + = − .Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức Q x y z = + + .

...........................................HẾT...........................................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT TP. BẮC GIANG TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

(Đề có: 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN KHẢO SÁT: TOÁN 8

Ngày khảo sát: 11/02/2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu Hướng dẫn giải Điểm

Câu 1 5.0

1.1a

(2,0 điểm)

( )

( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2 1 1 2 4 1 4 1 1 1 1 4

a a a a M a a a a a a a a

  − − +   = − + ⋅ + + − − + + +    

0.5

( ) ( )( )

3 2 2

2 2 1 1 2 4 1 4 4 1 1

− −+ − + + + = ⋅ + − + +

a a a a a a M a a a a

0.5

( )( )

3 2 2 2

2 2 3 3 1 1 2 4 1 4 4 1 1 − + −−+ − + + + = ⋅ + − + + a a a a a a a a M a a a a

0.5

3

3 2 2 1 4 4 1 4 4 − = ⋅ = − + + a a a M a a a

KL

0.5

1.1b

(1.5 điểm)

Ta có ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 4 4 4 2 4 1 4 4 4

+ − − + − = = = − + + +

a a a a a M a a a 0.5

Vì ( )

2

2 2 0 4 − ≥ + a a với mọi a nên ( )

2

2 2 1 1 4 − − ≤ + a a với mọi .a

Dấu " " = xảy ra khi ( )

2

2 2 0 2 4 − = ⇔ = + a a a (tm)

0.5

Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi 2 = a . 0.5

1.2

(1.5 điểm)

Ta có 2 2 a b ab a b 1 0 + + − + + =

⇔ 2 2 2a 2b 2ab 2a 2b 2 0 + + − + + =

⇔ 2 2 2 2 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 + + + − + + + + =

0.5

2 2 2 (a b) (a 1) (b 1) 0 ⇔ + + − + + =

2

2

2

(a b) 0 a b a 1 (a 1) 0 a 1 b 1 (b 1) 0 b 1

 + = = −  =    ⇔ − = ⇔ = ⇔   = −    + = = −  

0.5

Thay a 1

b 1

=  = − 

vào 3 4 M 3a 2b 1 = − − ta được 3 4 M 3.1 2( 1) 2022 2023 = − − + = 0.5

Vậy giá trị của biểu thức M 2023 = .

Câu 2 4.0

2.1

(2.0 điểm)

+) x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được:

3 2 3 2 2 3 3 2 6 3 1 1 1 1 3 6 7 0 ( ) 3( ) 6( ) 7 0 − + − + − + = ⇔ + − + + + − = x x x x x x x x x x x x

0.5

Đặt 2 2 3 3 3 2 3 1 1 1 1 1 1 2; 3 . 3     = + ⇒ + = − + = + − + = −         t x x t x x x x t t x x x x x x 0.5

Thay vào phương trình ta được:

( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 6 7 0 1 1 1 t t t t t t − − − + − = ⇔ − = ⇔=

2 1 1 1 0 x x x x ⇒ + = ⇔ − + =

0.5

2 1 1 1 0 x x x x ⇒ + = ⇔ − + = vô nghiệm

KL

0.5

2.2

(2.0 điểm)

Do f(x) chia cho ( )( ) 2 12 3 4 x x x x + − = − + được thương là 2 3 x + còn dư nên ta

có :

( ) ( )( )( ) 2 4 3 3 . f x x x x a x b = + − + + +

0.5

Cho ( ) 4 4 9 x f x a b = −=> = − + =

Cho ( ) 3 3 2 x f x a b = => = + =

0.5

Khi đó ta có hệ: 4 9 1

3 2 5

a b a

a b b

− + = = −   ⇔   + = =  

0.5

Đa thức cần tìm: ( ) ( )( )( ) 2 4 3 3 5 f x x x x x = + − + − + 0.5