Đề thi thử HSG lần 2 Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Hiệp Hòa - Bắc Giang

UBND HUYỆN HIỆP HÒA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LẦN 2

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5,0 điểm):

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 – x – 2022.2023 b) a3(b –c ) + b3( c – a) + c3( a – b)

2) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

3) Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết f(x) chia cho x – 2 dư 5, f(x) chia cho x + 1

dư - 4. Tính M = ( a2019 + b2019)(b2021 + c2021)(c2023 + a2023)

Bài 2 (4,0 điểm):

Cho A =

2 2 2

3 4 2 3 2 2 2 1 3 1 : ( 1) 1 1 3 3 1 x x x x x x x x x x x x   + − + + + − ≠   − + + − + − −  

1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 (4,0 điểm):

1) Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn :

x + y + z = 2 1 ; và 0 1 1 1 > + + z y x

Chứng minh rằng: M =( x3 + y3)(y2013 + z2013)(z2023 + x2023) = 0

2) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3)

Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 6

Bài 4 (6,0 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là giao điểm của 2 đường

chéo. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM bằng 900. Gọi N là giao

điểm của AM và CD.

a) Chứng minh BI = CM

b) Tính diện tích tứ giác BIOM theo a

c) Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AN AM CD + =

Bài 5 (1,0 điểm): Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3

3 3 3

2 2

5

2 2

5

2 2

5 c b a a ca c c c bc b b b ab a a + + ≥ + + + + + + + +

------- Đề gồm 01 trang-------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC MÔN THI: TOÁN 8

Bài Nội dung Điểm

1(5đ)

1) a) x2 – x – 2022.2023 = x2 – x – 2022(2022 +1)

=x2 – x – 20222 – 2022

= ……( x + 2022)(x – 2023)

b) a3( b –c)+ b3( c – a) + c3 ( a – b)

= a3( b – c) – b3( b –c) – b3( a – b) + c3( a – b)

= ……..= ( a – b)( b – c)(a- c)( a+ b + c)

0,5

0,5

0,5

0,5

2) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z = (x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4 = (x+y)2 - 4(x+y) + 4 (z+2)2 = (x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z = x + y - 4 ; thay vào (1) ta được : xy = 2(x+y+x+y-4) xy - 4x - 4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

0.25

0.5

0.25

0.5

3) Gọi đa thức thương của f( x) cho x – 2 và x + 1 lần lượt là Q1 và Q2

Theo bài ra ta có f( x) = ( x – 2)Q1 + 5 = ( x + 1)Q2 – 4 Vì f(x) chia cho x – 2 dư 5 nên f(2) = 5 => 8 + 4a + 2b + c = 5  4a + 2b + c = -3 (*) Vì f(x) chia cho x+ 1` dư – 4 nên f( - 1) = -4 => -1 +a – b + c = -4a – b + c = -3(**) Từ * và ** => a = - b Thay a = -b vào M ta có M = 0

0.25

0.25

0.25

0.5 0.25 2(4 đ)

1) A =

2 2 2

3 4 2 3 2 2 2 1 3 1 : ( 1) 1 1 3 3 1 x x x x x x x x x x x x   + − + + + − ≠   − + + − + − −  

=

KL:………

0,5

0,5

0,5

0,75 0,25

2) Ta có

2

2 2

0

1 3 1 2 4

x

x x x

≥

  + + = + +    

Vì

2 1 3 3 0 2 4 4 x   + + ≥ >    

nên A 0 ≥ (1)

Xét hiệu 4 3 A − =…………..= ( )

2

2 2 3( 1) x x x + + +

Lập luận => A 4 3 ≤ (2)

Từ ( 1) và ( 2) => 4 0 3 A ≤ ≤ . Vì A là số nguyên nên A { } 0;1 ∈

Với A = 0 => ……. x = 0 ( TM) Với A = 1 => …….. x = -1 ( TM) KL…

0.25

0.25

0.5

0.5

3 (4đ) Ta có x + y + z = 0,5 (1) => 2x + 2y + 2z = 1

Ta có 4 1 1 1 4 2 2 2 1 1 1 2

2 2 2 =  

  

 + + ⇔ = + + + + + z y x xyz z y x z y x

 2 1 1 1 = + + z y x (2)( vì 1/x + 1/y + 1/z >0)

Từ (1) và ( 2) => z y x z y x + + = + + 1 1 1 1

 …….<=> ( x + y)(y+z)(z + x) = 0 Nếu x + y = 0 => x = -y => x3 + y3 = 0=> M = 0 Nếu y + z = 0 ……………………=> M = 0 Nếu z + x = 0 => ………………………..=> M = 0

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Ta có 5( a3 + b3) = 13( c3 + d3)

 …….<=> a3 + b3 + c3 + d3 = 6( a3 + b3 – 2c3 – 2d3) Vì 6 chia hết cho 6 nên 6( a3 + b3 – 2c3 – 2d3) chia hết cho 6 => a3 + b3 + c3 + d3 chia hết cho 6 Xét hiệu ( a3 + b3 + c3 + d3) – ( …