Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Hoằng Hóa - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức:

3 2

2 2 2 3 x x 1 1 x x 1 A . x 1 x 2x 1 1 x x 1 − + +   = + −   + − + − −   , với 1 x ≠± .

Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 3 2 x 2x 5x 6 0 − − + = . 2. Cho a, b, c là ba số đôi một không đối nhau thỏa mãn: ab bc ca 5 + + = .

Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 (a b) (b c) (c a) P (5 a )(5 b )(5 c ) + + + = + + + .

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: ( )( ) 2 2 1 4 3 192 x x x − + + = .

2. Tìm a, b sao cho đa thức ( ) 3 2 f x ax bx 10x 4 = + + − chia hết cho đa thức

( ) 2 g x x x 2 = + − .

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2 x xy 2022x 2023y 2024 + = + + .

2. Cho x, y là các số nguyên sao cho 2 x 2xy y − − và 2 xy 2y x − − đều chia hết cho 5.

Chứng minh rằng 2 2 2x y 2x y + + + cũng chia hết cho 5.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của AK và DE. Hạ DM CE ⊥ .

1. Chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật, từ đó suy ra AM KM ⊥ .

2. Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh ADM ∆ cân và tính số đo của góc ANB. 3. Phân giác góc DCE cắt cạnh AD tại F. Chứng minh rằng CF 2EF ≤ .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 3a 1 3b 1 3c 6 1 b 1 c 1 a + + + + + ≥ + + + .

………………………….. Hết ………………………….. Họ tên thí sinh :……………………............ Số báo danh :……………………........... Giám thị số 1 :……………………….......... Giám thị số 2: ……………………….....

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 8

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1. (4,0

điểm)

1

Với 1 x ≠±

3 2

2 2 2 3 1 1 1 . 1 2 1 1 1 x x x x A x x x x x − + +   = + −   + − + − −  

2 2

2 2 2 ( 1) 1 1 1 . 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x   − + + = − −   + − − + − + +  

2

2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 . 1 ( 1) .( 1) 1 x x x x x x x x − + − − = − + − + −

2 2 ( 1)( 1) 2 1 . 1 ( 1) .( 1) 1 x x x x x x x − + = − + − + − 2 2 1 ( 1)( 1) 1 x x x x = − + − −

2

2 2 ( 1) ( 1)( 1) x x x x − + = + −

2

2 ( 2 1) ( 1)( 1) x x x x − − + = + −

2

2 ( 1) ( 1)( 1) x x x − − = + − 2 1 1 x x − = + .

Vậy: 2 1 1 x A x − = + (với 1 x ≠± ).

0.25

0.25

0.25

0.25 Với 1 x ≠± Ta có 3 2 x 2x 5x 6 0 (x 1)(x 2)(x 3) 0 − − + = ⇔ − + − =

x 1 (L) x 2(T / m) x 3 (T / m)

=   ⇒ = −   = 

Với 3 x 2 A 5 = −⇒ =

Với 1 x 3 A 5 = ⇒ = −

0.25

0.25

0.25

0.25

2 Ta có 2 2 ab bc ca 5 a 5 a ab bc ca (a b)(a c) + + = ⇒ + = + + + = + + Tương tự: 2 b 5 (b c)(b a) + = + + ; 2c 5 (c a)(b c) + = + +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (a b) (b c) (c a) (a b) (b c) (c a) P (5 a )(5 b )(5 c ) (a b)(a c)(b c)(b a)(c a)(c b) + + + + + + = = + + + + + + + + +

2 2 2

2 2 2 (a b) (b c) (c a) 1 (a b) (b c) (c a) + + + = = + + +

0.5 0.5

0.5

0.5

Câu 2. (4,0

điểm)

1

Ta có: ( )( ) 2 2 1 4 3 192 x x x − + + =

( )( )( )( ) 1 1 3 1 192 x x x x ⇔ − + + + =

( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 3 192 2 1 2 3 192 x x x x x x x ⇔ + − + = ⇔ + + + − = (*)

Đặt 2 2 1 t x x = + + (ĐK : 0 t ≥) 2 2 3 4 x x t ⇒ + − = − Thay vào (*) ta được

0.25 0.25

0.25