Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Như Thanh - Thanh Hoá

PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIÓI CÁC MÔN VĂN HOÁ ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 12/01/2023 Câu 1: (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức 2 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − với 2; 3. x x ≠ ≠

Rút gọn A và tìm số nguyên x để A chia hết cho 2. 2. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: 3 3 3 3 a b c abc + + = và 0. abc ≠

Tính giá trị biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca P a b c b c a c a b = + + + − + − + −

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2 2 2 13 6 3 5 2 3 2 x x x x x x + = − + + +

2. Phân tích đa thức sau thành phân tử:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z + + − + + − + + + + + + +

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm cặp số nguyên (x;y) thoả mãn phương trình: 3 2 3 2 5 x x x y y + = + +

2. Cho x;y là các số nguyên khác 0; 1; -1 và 3 3 x y + chia hết cho xy.

Chứng minh rằng 2 1 x + không chia hết cho y.

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC;M là điểm đối xứng với I qua E.

1. Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành. 2. Gọi N, F lần lượt là trung điểm của AD và BD; K là điểm đối xứng với I qua F.

Chứng minh: ba đường thẳng IN; MF; KE đồng quy.

3. Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD. Kí hiệu 1 2 ; ; S S S lần lượt là diện tích tứ giác

ABCD, tam giác AOB và tam giác COD. Biết 2 2 1 2 ; S a S b = = với a, b là các số dương cho

trước. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ( ) 2 S a b = +

Câu 5: (2,0 điểm) Cho các số dương x, y thoả mãn 2 2 2 2 8. x xy y + + ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 2 3 . P x y x y = + − −

--------------- HẾT ---------------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN

Câu Ý Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm

Câu 1

1 (2,5 đ)

Cho biểu thức 2 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − với 2; 3. x x ≠ ≠

+) Với 2; 3 x x ≠ ≠ ta có:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 9 3 3 2 1 2 2 9 3 2 1 5 6 2 3 3 2 x x x x x x x x A x x x x x x − − + − + + − − + + = − − = − + − − − − 0,5

( )( )

2 2 2 9 9 2 3 2 3 2 x x x x x x −− + + − − = − − 0,25

( )( )

( )( ) ( )( )

2 1 2 2 1 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x + − − − + = = = − − − − − 0,5

Vậy với 2; 3 x x ≠ ≠ thì 1 3 x A x + = − 0,25

+) Ta có: 1 3 x A x + = − chia hết cho 2 thì A phải nhận giá trị nguyên.

Do x nguyên nên A nhận giá trị nguyên khi x + 1 chia hết cho x – 3.

0,25

Mà x + 1 = x – 3 + 4 nên suy ra 4 chia hết cho x – 3

3 x ⇒ −∈Ư(4) { } 1; 2; 4 . = ± ± ± Suy ra { } 4;2;5;1;7; 1 x∈ − 0,5

+) Đối chiếu với điều kiện 2; 3 x x ≠ ≠ và thử lại ta thấy { } 7; 1 x∈ − là giá trị cần

tìm.

0,25

2 (1,5 đ)

Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn:

3 3 3 3 a b c abc + + = và 0. abc ≠

Tính giá trị biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca P a b c b c a c a b = + + + − + − + −

+) Từ 3 3 3 3 a b c abc + + = ( )( ) 2 2 2 0 a b c a b c ab bc ca ⇒ + + + + − − − =

Do 2 2 2 0 a b c ab bc ca + + − − − > với a, b, c đôi một khác nhau nên suy ra a + b + c = 0.

0,5

Khi đó:

( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 ab ab ab b b b a b c a b c b c a a b c a c b b b = = = = = + − + + − + − − + − −− −

Tương tự:

2 2

2 2 2 2 2 ; 2 2 bc c ca a b c a c a = = + − − + −

0,5

Công theo vế các đẳng thức trên ta được:

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 ab bc ca b c a P a b c a b c b c a c a b = + + = + + = − + + = + − + − + − − − −

Vậy P = 0.

0,5

Câu 2 Giải phương trình: 2 2 2 13 6 3 5 2 3 2 x x x x x x + = − + + +