Đề kiểm tra cuối học kỳ 2 Toán 9 năm 2022 - 2023 sở GDĐT An Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II

Năm học 2022-2023 Môn : TOÁN LỚP 9 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 90 phút, (Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ:

Bài 1. (3,0 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:

a. 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 −6 = 0;

b. ൜2𝑥𝑥+ 𝑦𝑦= 8 𝑦𝑦= 𝑥𝑥+ 2 .

Bài 2. (2,0 điểm)

Cho hai hàm số 𝑦𝑦= 𝑥𝑥2; 𝑦𝑦= −4𝑥𝑥+ 𝑚𝑚 (𝑚𝑚 là tham số) và có đồ thị lần lượt là (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑).

a. Vẽ đồ thị (𝑃𝑃) của hàm số; b. Với giá trị nào của 𝑚𝑚 thì đường thẳng (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt 𝐴𝐴; 𝐵𝐵 sao cho |𝑥𝑥𝐴𝐴−𝑥𝑥𝐵𝐵| = 4.

Bài 3. (4,0 điểm)

Từ một điểm 𝑀𝑀 ở ngoài đường tròn tâm (𝑂𝑂) bán kính 𝑅𝑅= 2 𝑐𝑐𝑐𝑐, kẻ hai tiếp tuyến 𝑀𝑀𝑀𝑀; 𝑀𝑀𝑀𝑀 với đường tròn (𝐴𝐴; 𝐵𝐵 là hai tiếp điểm), kẻ đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵, Biết 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 1200.

a. Chứng minh tứ giác 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 nội tiếp;

b. Chứng minh 𝑂𝑂𝑂𝑂 song song 𝐴𝐴𝐴𝐴;

c. Đoạn 𝑀𝑀𝑀𝑀 cắt đường tròn tại 𝐷𝐷. Chứng minh 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 là hình thoi;

d. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 và dây 𝐴𝐴𝐴𝐴 của đường tròn (𝑂𝑂).

Bài 4. (1,0 điểm)

Một bạn mua 4 ly kem và 2 ly trà sữa với số tiền là 76 000 đồng, hôm sau bạn ấy mua 2 ly kem và 4 ly trà sữa với số tiền là 80 000 đồng. Hỏi giá một ly trà sữa hơn giá giá của một ly kem là bao nhiêu tiền?

---- Hết ----

ĐÁP ÁN Bài Lược giải Điểm Bài 1a

𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 −6 = 0 Đặt 𝑡𝑡= 𝑥𝑥2. Đ𝐾𝐾: 𝑡𝑡≥0, phương trình trở thành 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡−6 = 0 (∗) ∆= 𝑏𝑏2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎= 12 −4. (−6) = 25 > 0 Phương trình (*) có hai nghiệm:

𝑡𝑡1 = −𝑏𝑏+ √∆

2𝑎𝑎 = −1 + 5 2 = 2 (𝑛𝑛ℎậ𝑛𝑛)

𝑡𝑡2 = −𝑏𝑏+ √∆

2𝑎𝑎 = −1 −5 2 = −3 (𝑙𝑙𝑙𝑙ạ𝑖𝑖)

Khi 𝑡𝑡= 2 ⇒𝑥𝑥2 = 2 ⇒𝑥𝑥= ±√2 Vậy phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1 = −√2 𝑣𝑣à 𝑥𝑥2 = √2.

1,5 đ

Bài 1b ൜2𝑥𝑥+ 𝑦𝑦= 8 (∗)

𝑦𝑦= 𝑥𝑥+ 2 (∗∗)

Lấy (∗∗) thay vào (∗) ta được: 2𝑥𝑥+ (𝑥𝑥+ 2) = 8 ⇔3𝑥𝑥+ 2 = 8 ⇔3𝑥𝑥= 6 ⇔𝑥𝑥= 2 Thay 𝑥𝑥= 2 vào (∗∗), ta được: 𝑦𝑦= 2 + 2 = 4 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (𝑥𝑥; 𝑦𝑦) = (2; 4).

1,5 đ

Bài 2a

(𝑃𝑃): 𝑦𝑦= 𝑥𝑥2 Bảng giá trị:

𝑥𝑥 −2 −1 0 1 2 𝑦𝑦= 𝑥𝑥2 4 1 0 1 4 Đồ thị như hình vẽ:

1,0 đ

Bài 2b

(𝑃𝑃): 𝑦𝑦= 𝑥𝑥2; (𝑑𝑑): 𝑦𝑦= −4𝑥𝑥+ 𝑚𝑚 Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) là 𝑥𝑥2 = −4𝑥𝑥+ 𝑚𝑚⇔𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥−𝑚𝑚= 0 (∗) Để (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khi đó: ∆′> 0 ⇔∆′= 22 −1. (−𝑚𝑚) = 4 + 𝑚𝑚> 0 ⇔𝑚𝑚> −4 Theo định lý Vi-ét, ta có: 𝑥𝑥𝐴𝐴+ 𝑥𝑥𝐵𝐵= −4; 𝑥𝑥𝐴𝐴. 𝑥𝑥𝐵𝐵= −𝑚𝑚. Theo đề bài, ta có: |𝑥𝑥𝐴𝐴−𝑥𝑥𝐵𝐵| = 4 ⇔𝑥𝑥𝐴𝐴 2 −2𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝐵𝐵+ 𝑥𝑥𝐵𝐵 2 = 16 ⇔(𝑥𝑥𝐴𝐴+ 𝑥𝑥𝐵𝐵)2 −4 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝐵𝐵−16 = 0 ⇔(−4)2 −4(−𝑚𝑚) −16 = 0 ⇔4𝑚𝑚= 0 ⇔𝑚𝑚= 0 (thỏa điều kiện 𝑚𝑚> −4) Vậy khi 𝑚𝑚= 0 thì đường thẳng (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 thỏa mãn |𝑥𝑥𝐴𝐴−𝑥𝑥𝐵𝐵| = 4.

1,0 đ

Bài 4a

a. Chứng minh tứ giác 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 nội tiếp. Ta có: 𝑀𝑀𝑀𝑀 là tiếp tuyến nên 𝑀𝑀𝑀𝑀⊥𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ෣= 900 𝑀𝑀𝑀𝑀 là tiếp tuyến nên 𝑀𝑀𝑀𝑀⊥𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ෣= 900 Tứ giác 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 có tổng hai góc đối bằng 1800 nên là tứ giác nội tiếp.

(hình vẽ 0,5 đ)

1,5đ

Bài 4b

b. Chứng minh 𝑂𝑂𝑂𝑂 song song 𝐴𝐴𝐴𝐴. Ta có: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 1200 ⇒𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ෣= 600 (1) ⇒𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 600 ( kề bù với góc 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣) ⇒ tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 đều hay 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ෣= 600 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ෣ Vậy 𝑂𝑂𝑂𝑂 song song 𝐴𝐴𝐴𝐴.

1,0 đ

Bài 4c

c. Chứng minh 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 là hình thoi. Các tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 là các tam giác đều, nên: 𝑂𝑂𝑂𝑂= 𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝑂𝑂𝑂𝑂= 𝑅𝑅 Vậy 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 là hình thoi.

1,0 đ

Bài 4d

Tính diện tich hình viên phân giới hạn bởi cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 và dây 𝐴𝐴𝐴𝐴 của đường tròn. Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt tròn 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 trừ đi diện tích tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝑆𝑆= 1

6 𝑑𝑑𝑑𝑑ệ𝑛𝑛 𝑡𝑡í𝑐𝑐ℎ ℎì𝑛𝑛ℎ 𝑡𝑡𝑡𝑡ò𝑛𝑛−𝑆𝑆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

= 𝜋𝜋𝑅𝑅2

6 − 𝑅𝑅2√3

4 = 4𝜋𝜋

6 − 4√3

4 = 8𝜋𝜋−12√3

12 = 2𝜋𝜋−3√3

3 (𝑐𝑐𝑚𝑚2).

0,5 đ

Bài 5 Một bạn mua 4 ly kem và 2 ly trà sữa với số tiền là 76000 đồng, hôm sau bạn ấy mua 2 ly kem và 4 ly trà sữa với số tiền là 80000 đồng. Hỏi giá một ly trà sữa hơn giá giá của ly kem là bao nhiêu tiền?

Gọi 𝑥𝑥 là giá một ly kem; 𝑦𝑦 là giá một ly trà sữa (đơn vị tính nghìn đồng) Điều kiện: 𝑥𝑥> 0; 𝑦𝑦> 0. Theo đề bài ta được:

൜4𝑥𝑥+ 2𝑦𝑦= 76 2𝑥𝑥+ 4𝑦𝑦= 80

Trừ hai phương trình, ta được: 2𝑥𝑥−2𝑦𝑦= −4 ⇔𝑥𝑥−𝑦𝑦= −2 ⇔𝑦𝑦−𝑥𝑥= 2 Vậy giá một ly trà sữa hơn giá một ly kem là 2000 đồng.

1,0 …