Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 3 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Tam Kỳ - Quảng Nam

UBND TP. TAM KÝ KÝ KHƒO ST HÅC SINH GIÄI LÎP 9 L†N 3

PHÁNG GIO DÖC V€ €O T„O N‹M HÅC 2023 - 2024

MÆN TON

· chẵnh thực Ng y 06 thĂng 03 nôm 2024 Thới gian 150 phút(khổng kº thới gian phĂt · )

C¥u 1. (4.0 iºm)

a) Cho f(n) = 2 p2n + 1 + p2n 1 vợi n l số nguy¶n d÷ìng. T½nh giĂ trà cừa biºu thực

P = f(1) + f(2) + f(3) + ::: + f(60):

b) T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa tham sè m º ph÷ìng tr¼nh x2 2(3m 1)x + m2 m 4 = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1; x2 thäa m¢n x1 + x2 + px1x2 = 2024 x1 + x2 px1x2 :

C¥u 2. (4.0 iºm)

a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh: 4 x px 1 = 32x4 + 80x3 50x2 + 3.

b) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh: ( x 2 p

y + 1 = 3

x3 4x2p

y + 1 9x 8y = 52 4xy

CƠu 3. (4.0 iºm). Cho tam giĂc ABC, k´ c¡c ÷íng phƠn giĂc trong AD; BE; CF cừa tam giĂc ABC. Chùng minh r¬ng

a) AD = p

AB:AC BD:DC

b) 1 AB + 1 AC + 1 BC < 1 AD + 1 BE + 1 CF

CƠu 4. (4.0 iºm). Cho ữớng trán (O; R) v iºm M cố ành ð bản ngo i ữớng trán. Tứ M k´ cĂc tiáp tuyánMA, MB v cĂt tuyán MCD án ữớng trán (O; R), vợi A, B l cĂc tiáp iºm. C, D thuởc ữớng trán (O) sao cho MC < MD, CD < 2R. Gồi E l trung iºm cừa CD.

a) Chùng minh bốn iºm A, E, O, B cũng nơm trản mët ÷íng trán.

b) Gồi F l giao iºm cừa AB v OE. Chùng minh FC l ti¸p tuy¸n cừa ÷íng trán (O; R).

c) Gồi T l iºm thay ời trản cung nhọ AB cừa ữớng trán (O). Tiáp tuyán tÔi T cừa ữớng trán (O)cưt MA, MB lƯn lữủt tÔi cĂc iºm I, K. Chùng minh rơng chu vi tam giĂc MIK khổng ời. XĂc ành và trẵ cừa iºm T trản cung nhọ AB sao cho tam giĂc MIK câ diằn tẵch lợn nh§t.

C¥u 5. (5.0 iºm)

a) T¼m tĐt cÊ c¡c bở ba số nguy¶n tố (p; q; r) sao cho p + q + r = pqr 200.

b) Cho c¡c sè thüc a; b; c; d 1. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà thüc cõa k sao cho

a3 + b3 + c3 + d3 + 1 k(a + b + c + d)

.

===Hát===

L÷u þ: Th½ sinh khổng ÷ñc ph²p sû dửng t i li»u. GiĂm thà khổng ÷ñc gủi þ g¼ thảm.

Hồ v tản th½ sinh................................................Số b¡o danh.......... .............

ൡ Hướng dẫn chấm môn Toán – Thi khảo sát HSG lớp 9 lần 3 năm học 2023-2024

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ

KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9-LẦN 3 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2023 – 2024 Ngày 06 tháng 03 năm 2024 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm 1 (4.0 điểm)

a) (2.0 điểm) Ta có

    

2 2 1 2 1 ( )

2 1 2 1 2 1 2 1

n n f n

n n n n

  

   

(do 0 2 1 2 1 n n    )

0.5

  2 2 1 2 1

2 1 2 1 (2 1) (2 1)

n n

n n n n

        

0.5

Khi đó       3 1 5 3 7 5 ... 121 119 P         

0.5

121 1 11 1 10     . 0.5 b) (2.0 điểm) Phương trình   2 2 2 3 1 4 0 x m x m m       1 có hai nghiệm phân biệt

2 0 8 5 5 0 m m      

0.25

2 5 135 8 0; 16 32 m m            



0.25

Theo định lí Vi-ét, ta có:   1 2

2 1 2

2 3 1

4

x x m

x x m m

       

1 2 x x xác định 2 1 2 0 4 0 x x m m       (*)

0.25

Đặt 1 2 1 2 u x x x x    ; 1 2 1 2 v x x x x   

Ta có  

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 . 0; , 2 4 x x u v x x x x x x x              

Suy ra u và v luôn cùng dấu. Do đó u v u v    .

0.25