Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 5 năm 2023 - 2024 trường Hồng Phương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG

ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024

LẦN 5 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. (2,5 điểm) Cho 4 10 2 5 4 10 2 5 x = + + + − + .

Tính giá trị của biểu thức:

4 3 2

2 4 6 12 2 12 x x x x P x x − + + + = − +

Câu 2. (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết

( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 1612 2 3 3 4 14 15 x   + + + + + + + + + + + + =         .

Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình 3 3 1 3 x x x + + + = + .

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

2 2 2 5 6 2 4 10 x y z xy xz + + + − =

Câu 5. (2,0 điểm) Với các số thực , , a b c thỏa mãn 0 , , 1 a b c ≤ ≤ và 2 a b c + + = , tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 ab bc ca P ab bc ca = + + + + + .

Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC đường cao ; CK H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một

điểm trên CK sao cho  0 90 AMB = . Gọi 1 2 ; ; S S S theo thứ tự là diện tích các tam giác ; ; AMB ABC ABH .

a) Chứng minh : . . HK CK AK BK =

b) Chứng minh: 1 2 . S S S =

Câu 7. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , AH vuông góc với BC , AD là đường phân giác. Gọi HM , HN là đường phân giác của tam giác HAB , HAC .

a. Chứng minh // DM AC và AD MB = . b. Gọi , AP AQ là đường phân giác của tam giác AHB , AHC .

Chứng minh rằng: 2 2 . = PQ PB CQ .

Câu 8. (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC , đường cao AH . Lấy điểm M nằm giữa B và C , vẽ MD vuông góc với AB tại D , ME vuông góc với AC tại E . Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích

MDE lớn nhất. Câu 9. (1,0 điểm) Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá.

==== HẾT ==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh.........................................................SBD:.......................Phòng thi................

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG

ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024

LẦN 5 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Hướng dẫn chung:

- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.

- Các câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.

Câu Nội dung Điểm

Câu 1. (2,5 điểm) Cho 4 10 2 5 4 10 2 5 x = + + + − + .

Tính giá trị của biểu thức:

4 3 2

2 4 6 12 2 12 x x x x P x x − + + + = − +

2,5 đ

Ta có:

4 10 2 5 4 10 2 5 x = + + + − + với x > 0

2 2 8 2 16 (10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 ( 5 1)

8 2( 5 1) 6 2 5

x ⇒ = + − + = + − = + −

= + − = +

1,0

Vì x > 0 nên 5 1 x = +

Ta có: 2 2 5 1 1 5 ( 1) 5 2 4 x x x x x = + ⇒ −= ⇒ − = ⇒ − =

0,5

Mặt khác ta lại có:

4 3 2 2 2 2 2

2 2 4 6 12 ( 2 ) 3( 2 ) 12 4 3.4 12 1 2 12 2 12 4 12 x x x x x x x x P x x x x − + + + − − − + − + = = = = − + − + +

1,0

Câu 2. (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết

( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 1612 2 3 3 4 14 15 x   + + + + + + + + + + + + =         .

2,5 đ

Ta thấy

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 4 2 3 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n n n n n

+ + + + + + + + + + + = = + + +

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n n

+ + + + = ⇒ + + = = + − + + + +

1,0

Áp dụng với 2,3,4...,14 n = ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 3 4 4 5 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 ... 1 13 13 2 3 3 4 4 5 14 15 2 15 30

+ + + + + + + + + + + +

= + − + + − + + − + + + − = + − =

0,75