Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 2 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán NĂM HỌC 2023 - 2024 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( ) 2 2 1 2 1 1

x x x x x P x x x x

− − + = − + + + −

với 0 x > , 1 x ≠.

2. Cho 3 2 x + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) 2024 2023 2 2 7 – 4 6. – 4 2023 A x x x x + + = .

Bài 2. (2,0 điểm) Cho đa thức ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 ... . 1 f x x x = + + + + + . Tìm x để ( ) 20 f x = .

Bài 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

3 2

2 2 2 12 0

8 12

x xy y

y x

 + + =  + = 

Bài 4. (2,0 điểm) Giải phương trình:

( )

2

2 2 1 1 3 9 4 3 9

x

x x + = + − − −

Bài 5. (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB BC CD DA.

Chứng minh rằng: ( )( ) 1 . 4 ABCD S MP NQ AB CD AD BC ≤ ≤ + +

Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác . ABC Trên tia đối của tia BA lấy điểm K , trên tia đối của tia CA lấy điểm N . Gọi E là giao điểm của CK và BN ; Gọi M là giao điểm của AE và BC . Chứng minh

rằng: . AE AK AN EM KB NC = +

Bài 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có   90 , 20 BAC ABC = =  . Các điểm E và F lần lượt nằm trên

các cạnh , AC AB sao cho  10 ABE =  và  30 ACF = . Tính  CFE .

Bài 8. (2,0 điểm) Cho 3 số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 2 3 3 a b c + + = . Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 27 8 3 2 9 4 9 4 a b c c c a a a b b b c + + ≥ + + +

Bài 9. (2,0 điểm) Cho đường thẳng ( ) : ( 1) 2 1 0 d mx m y m + − − + = . Tìm m để khoảng cách từ điểm

(0;4) P đến đường thẳng ( ) d là lớn nhất.

Bài 10. (2,0 điểm) Anh Vượng dự định trồng điều và cà phê trên một mảnh đất có diện tích 12 ha. Nếu trồng 1 ha điều thì cần 10 ngày công và thu được 300 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha cà phê thì cần 4 ngày công và thu được 150 triệu đồng. Anh Vượng cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng anh Vượng chỉ có thể sử dụng không quá 60 ngày công cho việc trồng điều và cà phê.

--------------HẾT------------- (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên: ................................................. Số báo danh: .................................................

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 2023-2024

Môn Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Ý Nội dung Điể

m

1 (2,0đ)

1

( ) 2 2 1 2 1 1

x x x x x P x x x x

− − + = − + + + −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 1 2 1 2 1 1

1 1

1 2 1 2 1

1

x x x x x x P x x x x

x x x x

x x

− + − + = − + + + −

= − − + + +

= − +

0,5

0,25

0,25

2

3 2 x + = ⇒ 2 2 3 ( 2) 3 − = − ⇒ − = x x

2 4 1 0 x x ⇒ − + = 2 4 1 x x ⇒ − = − ( ) ( ) . . 2024 2023 7 1 6 1 2023 A = − + − +

A = 2024

0,5 0,25

0,25

2 (2,0 đ)

Ta có ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 ... . 1 f x x x = + + + + +

⇒ ( ) ( ) 3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... . 1 .3 f x x x = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... . 1 . 2 1 x x x x = − + − + − + + + + − −    

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ... 1 . . 1 . 1 . 2 x x x x x x = −+ − + − − − − − + + + +

( ) ( ) . 1 . 2 x x x = + +

⇒ ( ) ( ) ( ) 1 . 1 . 2 3 f x x x x = + +

0,5

0,25

0,25

Để ( ) 20 f x = ⇔ ( ) ( ) 1 . 1 . 2 20 3 x x x + + = ⇔ ( ) ( ) . 1 . 2 60 x x x + + =

⇔ 3 2 3 2 60 0 x x x + + − = ⇔( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 6 18 20 60 0 x x x x x − + − + − =

0,25

0,25

⇔( )( ) 2 3 6 20 0 x x x − + + = ⇔ 2 3 0

6 20 0

x

x x

− =   + + = 

( )

( )

1

2

0,25

Giải phương trình ( )1 ta được 3. x =

Giải phương trình ( ) 2 Vô nghiệm.

Vậy với 3 x = thì ( ) 20. f x =

0,25

3 (2,0 đ)

Thế (2) vào PT (1) ta được 3 2 2 3 2 8 0 x x y xy y + + + = (3)

Nếu 0 y = thì từ (1) suy ra 0 x = không thỏa mãn PT (2).

Nếu 0 y ≠ thì PT

3 2 (3) 2. 8 0 x x x y y y     ⇔ + + + =        

Đặt x t y = ta được 3 2 2 8 0 t t t + + + =

0,25

0,25