Đề HSG cấp huyện Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Nam Trực - Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM TRỰC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (5,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: ( ) 3 5 3 5

. 10 2 A

− + =

+

2) Cho biểu thức: 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P

x x x x − − + = + − + − − +

(với 0; 1 x x  ).

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . P

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho x; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: ( )( ) 2 2 5 5 5. x x y y − + − + = Tính giá

trị của biểu thức: 2024 2024. T x y = −

2) Giải phương trình: 2 8 8 4 2 3 0. x x x − + + − = Bài 3. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( ) O đường kính BC ( ). AB AC  Gọi E là

trung điểm của . AC Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( ) O cắt tia OE tại F . Đoạn thẳng

BF cắt đường tròn ( ) O tại . H

1) Chứng minh: . . . FH FB FE FO =

2) Chứng minh: . FEH OHB =

3) Chứng minh: AH vuông góc với . HE

Bài 4. (3,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn phương trình: 3 2 3 2 5 0. x x y x y − + − − =

2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: 2 1 p − chia hết cho 24.

Bài 5. (2,0 điểm)

1) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

2024. 1 1 1 2023 x y z y z x + +  + + +

2) Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số

2. Biết rằng có tất cả 1013 số 1 và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.

---------Hết--------- (Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ) Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:………………………………………. Giám thị 1: ................................................................. Giám thị 2:………………………………………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM I. Những điều cần lưu ý:

- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm. - Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn. II. Nội dung Bài 1. (5,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: ( ) 3 5 3 5

. 10 2 A

− + =

+

2) Cho biểu thức: 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P

x x x x − − + = + − + − − +

(với 0; 1 x x  ).

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . P

ý Nội dung Điểm 1

( ) 3 5 3 5

10 2 A

− + =

+

( ) ( ) 3 5 3 5 . 2. 5 1

8

− + − = 0,25

( ) 6 2 5 3 5 5 3 5

8

− + −− = 0,25

( ) ( )

2 5 1 2 5 2

8

− + = 0,25

( ) 5 1.2. 5 1

8

− + = 0,25

( ) ( ) 5 1 . 5 1

4

− + =

0,25

5 1

4

− = 0,25 1. = 0,25 Vậy 1 A = 0,25 2a

Với 0; 1 x x   ta có

15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P

x x x x − − + = + − + − − +

( )( )

15 11 3 2 2 3 1 3 1 3

x x x x x x x

− − + = − − − + − +

0,5

( )( ) ( )( ) ( )( )

15 11 3 2 3 2 3 1

1 3

x x x x x

x x

− − − + − + − =

− +

0,5

( )( )

15 11 3 9 2 6 2 2 3 3

1 3

x x x x x x x

x x

− − − + + − + − + =

− +

0,25

( )( )

5 7 2

1 3

x x

x x

− + − =

− +

0,5

( )( ) ( )( )

1 5 2

1 3

x x

x x

− − + =

− +

0,5

2 5

3

x x − =

+

0,25

2b

Ta có: ( ) 17 5 3 2 5 17 5 3 3 3

x x P

x x x

− + − = = = − + + +

Với 17 17 17 2 2 0 3 3 5 3 3 3 3 3 x x P x x   +     −    + +

.

0,25

Dấu “=” xảy ra 0 x  = (tm)

Vậy P có giá trị lớn nhất bằng 2

3

khi 0. x =

0,25

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho x; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: ( )( ) 2 2 5 5 5. x x y y − + − + = Tính giá

trị của biểu thức: 2024 2024. T x y = −

2) Giải phương trình: 2 8 8 4 2 3 0. x x x − + + − = ý Nội dung Điểm

1

( )( ) 2 2 5 5 5 x x y y − + − + = (*)

Nhân cả 2 vế của (*) với 2 5 x x + + ta được

( )( )( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 5 5 5 x x x x y y x x + + − + − + = + +

( )( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 5 5 x x y y x x − − − + = + +

( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 y y x x − − + = + +

2 2 5 5 y y x x  − + = −− + (1)

0,5

Tương tự: Nhân cả 2 vế của (*) với 2 5 y y + + ta thu được

2 2 5 5 x x y y − + = −− + (2)

0,5

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được

2 2 2 2 5 5 5 5 x x y y y y x y − + + − + = −− + − − +

x y x y  + = −−