Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Hoàng Mai - Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

Năm học 2023-2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian

giao đề

Câu 1. (4,5 điểm)

a. Tính giá trị biểu thức: A= ( )( ) 3 5 10 2 3 5 + − −

b. Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 2 2024 2024 2024 C x x x x = − − + + − (Với 2024 x ≥ )

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho 00 < x <900. Chứng minh rằng 2 1 sin 1 sin 2. tan 1 1 sin 1 sin x x x x x + − + = + − +

b) Giải phương trình 5𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥√𝑥𝑥+ 3 −𝑥𝑥+ 4 = 0

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên n sao cho C= n2 - 3n +4 là số chính phương

b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c =2023.

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3-1 chia hết cho 6

Câu 4. (6,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC.

Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt DE tại F, H là hình chiếu của C lên BF

a) Chứng minh FH. FB = FE.FD

b) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH

c) Gọi I là trung điểm của FE. Chứng minh A, H, I thẳng hàng

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b +c = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2 2 2 2 5 2 9 a ab b a c a b − + + + +

….HẾT ….

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

Năm học 2023-2024

(Đáp án gồm 04 trang)

Môn: TOÁN

Câu

Nội dung Điể

m

Câu 1

a

(2,5

điểm)

( )( ) 3 5 10 2 3 5 + − −

= ( )( ) 3 5 5 1 6 2 5 + − −

= ( )( ) ( )

2 3 5 5 1 5 1 + − −

= ( )( )

2 3 5 5 1 + −

=( )( ) 3 5 6 2 5 + −

= ( )( ) 2. 3 5 3 5 + −

= 2.(9-5) = 8

0,5đ

0,5đ

0,5

0,5

0,5

b

(2,0

điểm)

( ) ( ) 2 2024 2024 2024 C x x x x = − − + + −

( ) ( ) 2 2 2024 2024 2 2 2024 C x x x x = − − + + −

( ) ( )

2 2 2024 2024 2024 2024 C x x x x = − − + − + +

( )( ) 2 2024 2024 2024 2024 C x x x x = − − + − + +

2 2024 2024 C x x = − − −

4048 C = −

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

a

(2,0

điểm)

VT =

2 2

2 2 (1 sin ) (1 sin )

1 sin 1 sin

x x

x x

+ − + − −

=

2 2 1 sin 1 sin

cos cos

x x

x x

+ − + = 2

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

0,5đ

0,5

0,5đ

VP = 2. ට𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆2𝑥𝑥

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑥𝑥+ 1

= 2. ට𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆2𝑥𝑥+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑥𝑥

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑥𝑥

= 2

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

0,5

b(2,0 đ)

ĐK: x≥-3

5𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥√𝑥𝑥+ 3 −𝑥𝑥+ 4 = 0

<=> (4𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥√𝑥𝑥+ 3 + 𝑥𝑥+ 3) + (𝑥𝑥2 −2𝑥𝑥+ 1) = 0

<=> (2x - √𝑥𝑥+ 3 )2 + (x-1)2 = 0

Lập luận được x = 1 là nghiệm

0,75

0,5

0,75

Câu 3

a

(2,0

điểm)

n2 - 3n +4 là số chính phương

=> n2 - 3n +4 = a2

=>4n2-12n +9 + 7= 4a2

=>(2n-3)2 -4a2 = -7

=>(2n-3-2a)(2n-3+2a) = -7

Ta có bảng kết quả

2n-3-2a 1 7 -1 -7

2n-3+2a -7 -1 7 1

N 0 3 3 0

Vậy n = 0 hoặc n= 3

0,25

0,5

0,5

0.5

0,25

b

(2,0

điểm)

Ta có a+b+c =2023 => a+b+c-1 = 20226

Xét hiệu ( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) = (a3-a)+(b3-b)+(c3-c)

Ta có a3 –a = a(a-1)(a+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia

hết cho 6

Tương tự b3 –b và c3 –c chia hết cho 6

=>( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) chia hết cho 6

Mà a+b+c-1 chia hết cho 6=> a3 +b3 +c3-1 chia hết cho 6

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 4

0,5

a)

3,0đ

Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE//AB mà AC vuông góc với AB

=> DE vuông góc với AC

Tam giác CDF vuông tại C có đường cao CE

=>CF2 = FE.FD (1)

Tam giác FBC vuông tại C có đường cao CH

=> CF2 = FH.FB (2)

Từ (1) và (2) => FH.FB = FE.FD

0,5

0,5

0,75

0,75

0,5

b)

2,0đ

Xét Tam giác ABC Và tam giác ECF

Có Góc BAC = góc CEF = 900

Góc ECF = góc ABC (cùng phụ với góc BCA)

=> tam giác ABC đồng dạng với tam giác ECF (gg) => AB BC EC CF = (3)

Tam giác BHC đồng dạng với BCF (gg) => BH BC HC CF = (4)

Từ (3) và (4) => AB BH EC HC =

Xét tam giác ABH và tam giác ECH có

Góc ACH = góc ECH ( cùng phụ với hai gócBOA và COH bằng nhau)

Và AB BH EC HC = => tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH (cgc)

0,5

0,5

0,5

0,5

O

I H

F

E

D

A C

B